Trojuholník 20 21 22
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 20 b = 21 c = 22Obsah trojuholníka: S = 190,09106033974
Obvod trojuholníka: o = 63
Semiperimeter (poloobvod): s = 31,5
Uhol ∠ A = α = 55,37664645208° = 55°22'35″ = 0,9676501634 rad
Uhol ∠ B = β = 59,77441988917° = 59°46'27″ = 1,04332565784 rad
Uhol ∠ C = γ = 64,84993365875° = 64°50'58″ = 1,13218344412 rad
Výška trojuholníka: va = 19,00990603397
Výška trojuholníka: vb = 18,10438669902
Výška trojuholníka: vc = 17,28109639452
Ťažnica: ta = 19,03994327647
Ťažnica: tb = 18,21440056001
Ťažnica: tc = 17,30660682999
Polomer vpísanej kružnice: r = 6,03546223301
Polomer opísanej kružnice: R = 12,15220998867
Súradnice vrcholov: A[22; 0] B[0; 0] C[10,06881818182; 17,28109639452]
Ťažisko: T[10,68993939394; 5,76603213151]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11; 5,16546424518]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10,5; 6,03546223301]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 124,62435354792° = 124°37'25″ = 0,9676501634 rad
∠ B' = β' = 120,22658011083° = 120°13'33″ = 1,04332565784 rad
∠ C' = γ' = 115,15106634125° = 115°9'2″ = 1,13218344412 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=20 b=21 c=22
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=20+21+22=63
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=263=31,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=31,5(31,5−20)(31,5−21)(31,5−22) S=36134,44=190,09
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=202⋅ 190,09=19,01 vb=b2 S=212⋅ 190,09=18,1 vc=c2 S=222⋅ 190,09=17,28
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 21⋅ 22212+222−202)=55°22′35" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 20⋅ 22202+222−212)=59°46′27" γ=180°−α−β=180°−55°22′35"−59°46′27"=64°50′58"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=31,5190,09=6,03
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 6,035⋅ 31,520⋅ 21⋅ 22=12,15
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 212+2⋅ 222−202=19,039 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 222+2⋅ 202−212=18,214 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 202+2⋅ 212−222=17,306
Vypočítať ďaľší trojuholník