Trojuholník 20 21 23

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 20 b = 21 c = 23

Obsah trojuholníka: S = 194,97769217113
Obvod trojuholníka: o = 64
Semiperimeter (poloobvod): s = 32

Uhol ∠ A = α = 53,83985840336° = 53°50'19″ = 0,9439660556 rad
Uhol ∠ B = β = 57,96551639558° = 57°57'55″ = 1,01216829625 rad
Uhol ∠ C = γ = 68,19662520106° = 68°11'47″ = 1,19902491351 rad

Výška trojuholníka: v_a = 19,49876921711
Výška trojuholníka: v_b = 18,56992306392
Výška trojuholníka: v_c = 16,95545149314

Ťažnica: t_a = 19,62114168703
Ťažnica: t_b = 18,82215302247
Ťažnica: t_c = 16,97879268463

Polomer vpísanej kružnice: r = 6,09330288035
Polomer opísanej kružnice: R = 12,38660812798

Súradnice vrcholov: A[23; 0] B[0; 0] C[10,60986956522; 16,95545149314]
Ťažisko: T[11,20328985507; 5,65215049771]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11,5; 4,60105444754]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11; 6,09330288035]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 126,16114159664° = 126°9'41″ = 0,9439660556 rad
∠ B' = β' = 122,03548360442° = 122°2'5″ = 1,01216829625 rad
∠ C' = γ' = 111,80437479894° = 111°48'13″ = 1,19902491351 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 20 b = 21 c = 23

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 20 + 21 + 23 = 64

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 4}{2} = 32

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 32 (32 - 20) (32 - 21) (32 - 23) S = 38016 = 194, 98

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 9 4 , 9 8}{2 0} = 19, 5 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 9 4 , 9 8}{2 1} = 18, 57 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 9 4 , 9 8}{2 3} = 16, 95

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 1 ^{2} + 2 3 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 2 1 \cdot 2 3}) = 53 ° 5 0^{'} 19 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 3 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 3}) = 57 ° 5 7^{'} 55 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 53 ° 5 0^{'} 19 " - 57 ° 5 7^{'} 55 " = 68 ° 1 1^{'} 47 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 9 4 , 9 8}{3 2} = 6, 09

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 0 \cdot 2 1 \cdot 2 3}{4 \cdot 6 , 0 9 3 \cdot 3 2} = 12, 39

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 19, 621 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 18, 822 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 16, 978

Vypočítať ďaľší trojuholník