Trojuholník 20 21 25

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 20 b = 21 c = 25

Obsah trojuholníka: S = 202,93884143035
Obvod trojuholníka: o = 66
Semiperimeter (poloobvod): s = 33

Uhol ∠ A = α = 50,63329726582° = 50°37'59″ = 0,8843712083 rad
Uhol ∠ B = β = 54,26876240296° = 54°16'3″ = 0,94771487166 rad
Uhol ∠ C = γ = 75,09994033122° = 75°5'58″ = 1,31107318541 rad

Výška trojuholníka: v_a = 20,29438414303
Výška trojuholníka: v_b = 19,32774680289
Výška trojuholníka: v_c = 16,23550731443

Ťažnica: t_a = 20,80986520467
Ťažnica: t_b = 20,05661711201
Ťažnica: t_c = 16,2565768207

Polomer vpísanej kružnice: r = 6,15496489183
Polomer opísanej kružnice: R = 12,93549586623

Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[11,68; 16,23550731443]
Ťažisko: T[12,22766666667; 5,41216910481]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; 3,32661322274]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[12; 6,15496489183]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 129,36770273418° = 129°22'1″ = 0,8843712083 rad
∠ B' = β' = 125,73223759704° = 125°43'57″ = 0,94771487166 rad
∠ C' = γ' = 104,90105966878° = 104°54'2″ = 1,31107318541 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 20 b = 21 c = 25

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 20 + 21 + 25 = 66

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 6}{2} = 33

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 33 (33 - 20) (33 - 21) (33 - 25) S = 41184 = 202, 94

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 0 2 , 9 4}{2 0} = 20, 29 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 0 2 , 9 4}{2 1} = 19, 33 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 0 2 , 9 4}{2 5} = 16, 24

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 1 ^{2} + 2 5 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 2 1 \cdot 2 5}) = 50 ° 3 7^{'} 59 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 5 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 5}) = 54 ° 1 6^{'} 3 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 50 ° 3 7^{'} 59 " - 54 ° 1 6^{'} 3 " = 75 ° 5^{'} 58 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 0 2 , 9 4}{3 3} = 6, 15

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 0 \cdot 2 1 \cdot 2 5}{4 \cdot 6 , 1 5 \cdot 3 3} = 12, 93

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 20, 809 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 20, 056 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 16, 256

Vypočítať ďaľší trojuholník