Trojuholník 20 21 29

Pravouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 20 b = 21 c = 29

Obsah trojuholníka: S = 210
Obvod trojuholníka: o = 70
Semiperimeter (poloobvod): s = 35

Uhol ∠ A = α = 43,60328189727° = 43°36'10″ = 0,76110127542 rad
Uhol ∠ B = β = 46,39771810273° = 46°23'50″ = 0,81097835726 rad
Uhol ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad

Výška trojuholníka: v_a = 21
Výška trojuholníka: v_b = 20
Výška trojuholníka: v_c = 14,48327586207

Ťažnica: t_a = 23,25994066992
Ťažnica: t_b = 22,58987139962
Ťažnica: t_c = 14,5

Polomer vpísanej kružnice: r = 6
Polomer opísanej kružnice: R = 14,5

Súradnice vrcholov: A[29; 0] B[0; 0] C[13,79331034483; 14,48327586207]
Ťažisko: T[14,26443678161; 4,82875862069]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14,5; -0]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[14; 6]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 136,39771810273° = 136°23'50″ = 0,76110127542 rad
∠ B' = β' = 133,60328189727° = 133°36'10″ = 0,81097835726 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 20 b = 21 c = 29

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 20 + 21 + 29 = 70

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 0}{2} = 35

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 35 (35 - 20) (35 - 21) (35 - 29) S = 44100 = 210

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 1 0}{2 0} = 21 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 1 0}{2 1} = 20 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 1 0}{2 9} = 14, 48

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 1 ^{2} + 2 9 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 2 1 \cdot 2 9}) = 43 ° 3 6^{'} 10 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 9 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 9}) = 46 ° 2 3^{'} 50 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 43 ° 3 6^{'} 10 " - 46 ° 2 3^{'} 50 " = 90 °

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 1 0}{3 5} = 6

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 0 \cdot 2 1 \cdot 2 9}{4 \cdot 6 \cdot 3 5} = 14, 5

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 23, 259 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 22, 589 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 14, 5

Vypočítať ďaľší trojuholník