Trojuholník 20 24 25
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 20 b = 24 c = 25Obsah trojuholníka: S = 223,38329391426
Obvod trojuholníka: o = 69
Semiperimeter (poloobvod): s = 34,5
Uhol ∠ A = α = 48,12655944006° = 48°7'32″ = 0,84399500768 rad
Uhol ∠ B = β = 63,32204569276° = 63°19'14″ = 1,10551504573 rad
Uhol ∠ C = γ = 68,55439486718° = 68°33'14″ = 1,19664921196 rad
Výška trojuholníka: va = 22,33882939143
Výška trojuholníka: vb = 18,61552449286
Výška trojuholníka: vc = 17,87106351314
Ťažnica: ta = 22,37218573212
Ťažnica: tb = 19,19663538205
Ťažnica: tc = 18,21440056001
Polomer vpísanej kružnice: r = 6,47548678012
Polomer opísanej kružnice: R = 13,43298528416
Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[8,98; 17,87106351314]
Ťažisko: T[11,32766666667; 5,95768783771]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; 4,91102899452]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10,5; 6,47548678012]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 131,87444055995° = 131°52'28″ = 0,84399500768 rad
∠ B' = β' = 116,68795430724° = 116°40'46″ = 1,10551504573 rad
∠ C' = γ' = 111,44660513282° = 111°26'46″ = 1,19664921196 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=20 b=24 c=25
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=20+24+25=69
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=269=34,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=34,5(34,5−20)(34,5−24)(34,5−25) S=49899,94=223,38
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=202⋅ 223,38=22,34 vb=b2 S=242⋅ 223,38=18,62 vc=c2 S=252⋅ 223,38=17,87
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 24⋅ 25242+252−202)=48°7′32" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 20⋅ 25202+252−242)=63°19′14" γ=180°−α−β=180°−48°7′32"−63°19′14"=68°33′14"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=34,5223,38=6,47
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 6,475⋅ 34,520⋅ 24⋅ 25=13,43
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 242+2⋅ 252−202=22,372 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 252+2⋅ 202−242=19,196 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 202+2⋅ 242−252=18,214
Vypočítať ďaľší trojuholník