Trojuholník 20 24 25




Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 20   b = 24   c = 25

Obsah trojuholníka: S = 223,38329391426
Obvod trojuholníka: o = 69
Semiperimeter (poloobvod): s = 34,5

Uhol ∠ A = α = 48,12655944006° = 48°7'32″ = 0,84399500768 rad
Uhol ∠ B = β = 63,32204569276° = 63°19'14″ = 1,10551504573 rad
Uhol ∠ C = γ = 68,55439486718° = 68°33'14″ = 1,19664921196 rad

Výška trojuholníka: va = 22,33882939143
Výška trojuholníka: vb = 18,61552449286
Výška trojuholníka: vc = 17,87106351314

Ťažnica: ta = 22,37218573212
Ťažnica: tb = 19,19663538205
Ťažnica: tc = 18,21440056001

Polomer vpísanej kružnice: r = 6,47548678012
Polomer opísanej kružnice: R = 13,43298528416

Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[8,98; 17,87106351314]
Ťažisko: T[11,32766666667; 5,95768783771]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; 4,91102899452]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10,5; 6,47548678012]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 131,87444055995° = 131°52'28″ = 0,84399500768 rad
∠ B' = β' = 116,68795430724° = 116°40'46″ = 1,10551504573 rad
∠ C' = γ' = 111,44660513282° = 111°26'46″ = 1,19664921196 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=20 b=24 c=25

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=20+24+25=69

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=269=34,5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=34,5(34,520)(34,524)(34,525) S=49899,94=223,38

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=202 223,38=22,34 vb=b2 S=242 223,38=18,62 vc=c2 S=252 223,38=17,87

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 24 25242+252202)=48°732"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 20 25202+252242)=63°1914" γ=180°αβ=180°48°732"63°1914"=68°3314"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=34,5223,38=6,47

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 6,475 34,520 24 25=13,43

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 242+2 252202=22,372 tb=22c2+2a2b2=22 252+2 202242=19,196 tc=22a2+2b2c2=22 202+2 242252=18,214

Vypočítať ďaľší trojuholník