Trojuholník 20 25 30

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 20 b = 25 c = 30

Obsah trojuholníka: S = 248,03991854123
Obvod trojuholníka: o = 75
Semiperimeter (poloobvod): s = 37,5

Uhol ∠ A = α = 41,41096221093° = 41°24'35″ = 0,72327342478 rad
Uhol ∠ B = β = 55,77111336722° = 55°46'16″ = 0,97333899101 rad
Uhol ∠ C = γ = 82,81992442185° = 82°49'9″ = 1,44554684956 rad

Výška trojuholníka: v_a = 24,80439185412
Výška trojuholníka: v_b = 19,8433134833
Výška trojuholníka: v_c = 16,53659456942

Ťažnica: t_a = 25,73990753525
Ťažnica: t_b = 22,22204860433
Ťažnica: t_c = 16,95658249578

Polomer vpísanej kružnice: r = 6,61443782777
Polomer opísanej kružnice: R = 15,11985789204

Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[11,25; 16,53659456942]
Ťažisko: T[13,75; 5,51219818981]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; 1,8989822365]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[12,5; 6,61443782777]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 138,59903778907° = 138°35'25″ = 0,72327342478 rad
∠ B' = β' = 124,22988663278° = 124°13'44″ = 0,97333899101 rad
∠ C' = γ' = 97,18107557815° = 97°10'51″ = 1,44554684956 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 20 b = 25 c = 30

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 20 + 25 + 30 = 75

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 5}{2} = 37, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 37, 5 (37, 5 - 20) (37, 5 - 25) (37, 5 - 30) S = 61523, 44 = 248, 04

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 4 8 , 0 4}{2 0} = 24, 8 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 4 8 , 0 4}{2 5} = 19, 84 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 4 8 , 0 4}{3 0} = 16, 54

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 5 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 2 5 \cdot 3 0}) = 41 ° 2 4^{'} 35 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 3 0}) = 55 ° 4 6^{'} 16 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 41 ° 2 4^{'} 35 " - 55 ° 4 6^{'} 16 " = 82 ° 4 9^{'} 9 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 4 8 , 0 4}{3 7 , 5} = 6, 61

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 0 \cdot 2 5 \cdot 3 0}{4 \cdot 6 , 6 1 4 \cdot 3 7 , 5} = 15, 12

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 25, 739 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 22, 22 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 16, 956

Vypočítať ďaľší trojuholník