Trojuholník 21 21 24

Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Strany: a = 21 b = 21 c = 24

Obsah trojuholníka: S = 206,80442552754
Obvod trojuholníka: o = 66
Semiperimeter (poloobvod): s = 33

Uhol ∠ A = α = 55,1550095421° = 55°9' = 0,96325507479 rad
Uhol ∠ B = β = 55,1550095421° = 55°9' = 0,96325507479 rad
Uhol ∠ C = γ = 69.76998091581° = 69°41'59″ = 1,21664911578 rad

Výška trojuholníka: v_a = 19,69656433596
Výška trojuholníka: v_b = 19,69656433596
Výška trojuholníka: v_c = 17,23436879396

Ťažnica: t_a = 19,95662020435
Ťažnica: t_b = 19,95662020435
Ťažnica: t_c = 17,23436879396

Polomer vpísanej kružnice: r = 6,26767956144
Polomer opísanej kružnice: R = 12,79547077127

Súradnice vrcholov: A[24; 0] B[0; 0] C[12; 17,23436879396]
Ťažisko: T[12; 5,74545626465]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12; 4,43989802269]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[12; 6,26767956144]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 124,85499045791° = 124°51' = 0,96325507479 rad
∠ B' = β' = 124,85499045791° = 124°51' = 0,96325507479 rad
∠ C' = γ' = 110.33001908419° = 110°18'1″ = 1,21664911578 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 21 b = 21 c = 24

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 21 + 21 + 24 = 66

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 6}{2} = 33

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 33 (33 - 21) (33 - 21) (33 - 24) S = 42768 = 206, 8

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 0 6 , 8}{2 1} = 19, 7 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 0 6 , 8}{2 1} = 19, 7 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 0 6 , 8}{2 4} = 17, 23

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 1 ^{2} + 2 4 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2 \cdot 2 1 \cdot 2 4}) = 55 ° 9^{'} b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 1 ^{2} + 2 4 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2 \cdot 2 1 \cdot 2 4}) = 55 ° 9^{'} γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 55 ° 9^{'} - 55 ° 9^{'} = 69 ° 4 1^{'} 59 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 0 6 , 8}{3 3} = 6, 27

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 1 \cdot 2 1 \cdot 2 4}{4 \cdot 6 , 2 6 7 \cdot 3 3} = 12, 79

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 19, 956 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 19, 956 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 17, 234

Vypočítať ďaľší trojuholník