Trojuholník 21 21 30
Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 21 b = 21 c = 30Obsah trojuholníka: S = 220,45440768505
Obvod trojuholníka: o = 72
Semiperimeter (poloobvod): s = 36
Uhol ∠ A = α = 44,41553085972° = 44°24'55″ = 0,77551933733 rad
Uhol ∠ B = β = 44,41553085972° = 44°24'55″ = 0,77551933733 rad
Uhol ∠ C = γ = 91,16993828056° = 91°10'10″ = 1,5911205907 rad
Výška trojuholníka: va = 20,99656263667
Výška trojuholníka: vb = 20,99656263667
Výška trojuholníka: vc = 14,69769384567
Ťažnica: ta = 23,67696007571
Ťažnica: tb = 23,67696007571
Ťažnica: tc = 14,69769384567
Polomer vpísanej kružnice: r = 6,1243724357
Polomer opísanej kružnice: R = 15,00331246745
Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[15; 14,69769384567]
Ťažisko: T[15; 4,89989794856]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; -0,30661862178]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[15; 6,1243724357]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 135,58546914028° = 135°35'5″ = 0,77551933733 rad
∠ B' = β' = 135,58546914028° = 135°35'5″ = 0,77551933733 rad
∠ C' = γ' = 88,83106171944° = 88°49'50″ = 1,5911205907 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=21 b=21 c=30
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=21+21+30=72
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=272=36
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=36(36−21)(36−21)(36−30) S=48600=220,45
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=212⋅ 220,45=21 vb=b2 S=212⋅ 220,45=21 vc=c2 S=302⋅ 220,45=14,7
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 21⋅ 30212+302−212)=44°24′55" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 21⋅ 30212+302−212)=44°24′55" γ=180°−α−β=180°−44°24′55"−44°24′55"=91°10′10"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=36220,45=6,12
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 6,124⋅ 3621⋅ 21⋅ 30=15
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 212+2⋅ 302−212=23,67 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 212−212=23,67 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 212+2⋅ 212−302=14,697
Vypočítať ďaľší trojuholník