Trojuholník 21 22 30

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 21 b = 22 c = 30

Obsah trojuholníka: S = 230,91554336548
Obvod trojuholníka: o = 73
Semiperimeter (poloobvod): s = 36,5

Uhol ∠ A = α = 44,40664477069° = 44°24'23″ = 0,77550387216 rad
Uhol ∠ B = β = 47,14439519766° = 47°8'38″ = 0,82328171844 rad
Uhol ∠ C = γ = 88,45496003164° = 88°26'59″ = 1,54437367476 rad

Výška trojuholníka: v_a = 21,99219460624
Výška trojuholníka: v_b = 20,99223121504
Výška trojuholníka: v_c = 15,39443622437

Ťažnica: t_a = 24,11994941904
Ťažnica: t_b = 23,44114163395
Ťažnica: t_c = 15,41110350074

Polomer vpísanej kružnice: r = 6,32664502371
Polomer opísanej kružnice: R = 15,00554933322

Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[14,28333333333; 15,39443622437]
Ťažisko: T[14,76111111111; 5,13114540812]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; 0,4065992785]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[14,5; 6,32664502371]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 135,59435522931° = 135°35'37″ = 0,77550387216 rad
∠ B' = β' = 132,85660480234° = 132°51'22″ = 0,82328171844 rad
∠ C' = γ' = 91,55503996836° = 91°33'1″ = 1,54437367476 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 21 b = 22 c = 30

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 21 + 22 + 30 = 73

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 3}{2} = 36, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 36, 5 (36, 5 - 21) (36, 5 - 22) (36, 5 - 30) S = 53321, 94 = 230, 92

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 3 0 , 9 2}{2 1} = 21, 99 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 3 0 , 9 2}{2 2} = 20, 99 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 3 0 , 9 2}{3 0} = 15, 39

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 2 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2 \cdot 2 2 \cdot 3 0}) = 44 ° 2 4^{'} 23 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 1 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2 \cdot 2 1 \cdot 3 0}) = 47 ° 8^{'} 38 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 44 ° 2 4^{'} 23 " - 47 ° 8^{'} 38 " = 88 ° 2 6^{'} 59 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 3 0 , 9 2}{3 6 , 5} = 6, 33

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 1 \cdot 2 2 \cdot 3 0}{4 \cdot 6 , 3 2 6 \cdot 3 6 , 5} = 15, 01

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 24, 119 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 23, 441 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 15, 411

Vypočítať ďaľší trojuholník