Trojuholník 22 22 30
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 22 b = 22 c = 30Obsah trojuholníka: S = 241,40221540915
Obvod trojuholníka: o = 74
Semiperimeter (poloobvod): s = 37
Uhol ∠ A = α = 47,01441139198° = 47°51″ = 0,82105510828 rad
Uhol ∠ B = β = 47,01441139198° = 47°51″ = 0,82105510828 rad
Uhol ∠ C = γ = 85,97217721604° = 85°58'18″ = 1.5500490488 rad
Výška trojuholníka: va = 21,9465650372
Výška trojuholníka: vb = 21,9465650372
Výška trojuholníka: vc = 16,09334769394
Ťažnica: ta = 23,89656062907
Ťažnica: tb = 23,89656062907
Ťažnica: tc = 16,09334769394
Polomer vpísanej kružnice: r = 6,5244382543
Polomer opísanej kružnice: R = 15,03771483372
Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[15; 16,09334769394]
Ťažisko: T[15; 5,36444923131]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; 1,05663286022]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[15; 6,5244382543]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 132,98658860802° = 132°59'9″ = 0,82105510828 rad
∠ B' = β' = 132,98658860802° = 132°59'9″ = 0,82105510828 rad
∠ C' = γ' = 94,02882278396° = 94°1'42″ = 1.5500490488 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=22 b=22 c=30
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=22+22+30=74
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=274=37
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=37(37−22)(37−22)(37−30) S=58275=241,4
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=222⋅ 241,4=21,95 vb=b2 S=222⋅ 241,4=21,95 vc=c2 S=302⋅ 241,4=16,09
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 22⋅ 30222+302−222)=47°51" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 22⋅ 30222+302−222)=47°51" γ=180°−α−β=180°−47°51"−47°51"=85°58′18"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=37241,4=6,52
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 6,524⋅ 3722⋅ 22⋅ 30=15,04
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 222+2⋅ 302−222=23,896 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 222−222=23,896 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 222+2⋅ 222−302=16,093
Vypočítať ďaľší trojuholník