Trojuholník 22 23 23
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 22 b = 23 c = 23Obsah trojuholníka: S = 222,1899108644
Obvod trojuholníka: o = 68
Semiperimeter (poloobvod): s = 34
Uhol ∠ A = α = 57,14437562846° = 57°8'38″ = 0,99773466941 rad
Uhol ∠ B = β = 61,42881218577° = 61°25'41″ = 1,07221229797 rad
Uhol ∠ C = γ = 61,42881218577° = 61°25'41″ = 1,07221229797 rad
Výška trojuholníka: va = 20,19990098767
Výška trojuholníka: vb = 19,3210792056
Výška trojuholníka: vc = 19,3210792056
Ťažnica: ta = 20,19990098767
Ťažnica: tb = 19,34655421222
Ťažnica: tc = 19,34655421222
Polomer vpísanej kružnice: r = 6,53549737836
Polomer opísanej kružnice: R = 13,09547012559
Súradnice vrcholov: A[23; 0] B[0; 0] C[10,52217391304; 19,3210792056]
Ťažisko: T[11,17439130435; 6,44402640187]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11,5; 6,26326832093]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11; 6,53549737836]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 122,85662437154° = 122°51'22″ = 0,99773466941 rad
∠ B' = β' = 118,57218781423° = 118°34'19″ = 1,07221229797 rad
∠ C' = γ' = 118,57218781423° = 118°34'19″ = 1,07221229797 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=22 b=23 c=23
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=22+23+23=68
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=268=34
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=34(34−22)(34−23)(34−23) S=49368=222,19
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=222⋅ 222,19=20,2 vb=b2 S=232⋅ 222,19=19,32 vc=c2 S=232⋅ 222,19=19,32
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 23⋅ 23232+232−222)=57°8′38" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 22⋅ 23222+232−232)=61°25′41" γ=180°−α−β=180°−57°8′38"−61°25′41"=61°25′41"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=34222,19=6,53
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 6,535⋅ 3422⋅ 23⋅ 23=13,09
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 232+2⋅ 232−222=20,199 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 232+2⋅ 222−232=19,346 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 222+2⋅ 232−232=19,346
Vypočítať ďaľší trojuholník