Trojuholník 22 23 30
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 22 b = 23 c = 30Obsah trojuholníka: S = 251,41878543779
Obvod trojuholníka: o = 75
Semiperimeter (poloobvod): s = 37,5
Uhol ∠ A = α = 46,78114870466° = 46°46'53″ = 0,81664909779 rad
Uhol ∠ B = β = 49,63295336611° = 49°37'46″ = 0,86661987686 rad
Uhol ∠ C = γ = 83,58989792924° = 83°35'20″ = 1,4598902907 rad
Výška trojuholníka: va = 22,85661685798
Výška trojuholníka: vb = 21,86224221198
Výška trojuholníka: vc = 16,76111902919
Ťažnica: ta = 24,36218554302
Ťažnica: tb = 23,65990363286
Ťažnica: tc = 16,77879617356
Polomer vpísanej kružnice: r = 6,70444761167
Polomer opísanej kružnice: R = 15,0944393393
Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[14,25; 16,76111902919]
Ťažisko: T[14,75; 5,58770634306]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; 1,68554411595]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[14,5; 6,70444761167]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 133,21985129534° = 133°13'7″ = 0,81664909779 rad
∠ B' = β' = 130,37704663389° = 130°22'14″ = 0,86661987686 rad
∠ C' = γ' = 96,41110207076° = 96°24'40″ = 1,4598902907 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=22 b=23 c=30
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=22+23+30=75
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=275=37,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=37,5(37,5−22)(37,5−23)(37,5−30) S=63210,94=251,42
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=222⋅ 251,42=22,86 vb=b2 S=232⋅ 251,42=21,86 vc=c2 S=302⋅ 251,42=16,76
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 23⋅ 30232+302−222)=46°46′53" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 22⋅ 30222+302−232)=49°37′46" γ=180°−α−β=180°−46°46′53"−49°37′46"=83°35′20"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=37,5251,42=6,7
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 6,704⋅ 37,522⋅ 23⋅ 30=15,09
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 232+2⋅ 302−222=24,362 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 222−232=23,659 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 222+2⋅ 232−302=16,778
Vypočítať ďaľší trojuholník