Trojuholník 22 23 30




Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 22   b = 23   c = 30

Obsah trojuholníka: S = 251,41878543779
Obvod trojuholníka: o = 75
Semiperimeter (poloobvod): s = 37,5

Uhol ∠ A = α = 46,78114870466° = 46°46'53″ = 0,81664909779 rad
Uhol ∠ B = β = 49,63295336611° = 49°37'46″ = 0,86661987686 rad
Uhol ∠ C = γ = 83,58989792924° = 83°35'20″ = 1,4598902907 rad

Výška trojuholníka: va = 22,85661685798
Výška trojuholníka: vb = 21,86224221198
Výška trojuholníka: vc = 16,76111902919

Ťažnica: ta = 24,36218554302
Ťažnica: tb = 23,65990363286
Ťažnica: tc = 16,77879617356

Polomer vpísanej kružnice: r = 6,70444761167
Polomer opísanej kružnice: R = 15,0944393393

Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[14,25; 16,76111902919]
Ťažisko: T[14,75; 5,58770634306]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; 1,68554411595]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[14,5; 6,70444761167]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 133,21985129534° = 133°13'7″ = 0,81664909779 rad
∠ B' = β' = 130,37704663389° = 130°22'14″ = 0,86661987686 rad
∠ C' = γ' = 96,41110207076° = 96°24'40″ = 1,4598902907 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=22 b=23 c=30

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=22+23+30=75

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=275=37,5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=37,5(37,522)(37,523)(37,530) S=63210,94=251,42

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=222 251,42=22,86 vb=b2 S=232 251,42=21,86 vc=c2 S=302 251,42=16,76

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 23 30232+302222)=46°4653"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 22 30222+302232)=49°3746" γ=180°αβ=180°46°4653"49°3746"=83°3520"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=37,5251,42=6,7

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 6,704 37,522 23 30=15,09

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 232+2 302222=24,362 tb=22c2+2a2b2=22 302+2 222232=23,659 tc=22a2+2b2c2=22 222+2 232302=16,778

Vypočítať ďaľší trojuholník