Trojuholník 22 24 28
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 22 b = 24 c = 28Obsah trojuholníka: S = 254,8233468307
Obvod trojuholníka: o = 74
Semiperimeter (poloobvod): s = 37
Uhol ∠ A = α = 49,32436272308° = 49°19'25″ = 0,86108596942 rad
Uhol ∠ B = β = 55,82773636603° = 55°49'38″ = 0,97443713086 rad
Uhol ∠ C = γ = 74,84990091089° = 74°50'56″ = 1,30663616508 rad
Výška trojuholníka: va = 23,16657698461
Výška trojuholníka: vb = 21,23552890256
Výška trojuholníka: vc = 18,20216763076
Ťažnica: ta = 23,64331808351
Ťažnica: tb = 22,13659436212
Ťažnica: tc = 18,27656668825
Polomer vpísanej kružnice: r = 6,88771207651
Polomer opísanej kružnice: R = 14,50441586026
Súradnice vrcholov: A[28; 0] B[0; 0] C[12,35771428571; 18,20216763076]
Ťažisko: T[13,45223809524; 6,06772254359]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14; 3,79108596348]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[13; 6,88771207651]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 130,67663727692° = 130°40'35″ = 0,86108596942 rad
∠ B' = β' = 124,17326363397° = 124°10'22″ = 0,97443713086 rad
∠ C' = γ' = 105,15109908911° = 105°9'4″ = 1,30663616508 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=22 b=24 c=28
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=22+24+28=74
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=274=37
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=37(37−22)(37−24)(37−28) S=64935=254,82
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=222⋅ 254,82=23,17 vb=b2 S=242⋅ 254,82=21,24 vc=c2 S=282⋅ 254,82=18,2
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 24⋅ 28242+282−222)=49°19′25" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 22⋅ 28222+282−242)=55°49′38" γ=180°−α−β=180°−49°19′25"−55°49′38"=74°50′56"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=37254,82=6,89
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 6,887⋅ 3722⋅ 24⋅ 28=14,5
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 242+2⋅ 282−222=23,643 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 282+2⋅ 222−242=22,136 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 222+2⋅ 242−282=18,276
Vypočítať ďaľší trojuholník