Trojuholník 22 26 30

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 22 b = 26 c = 30

Obsah trojuholníka: S = 278,51657087132
Obvod trojuholníka: o = 78
Semiperimeter (poloobvod): s = 39

Uhol ∠ A = α = 45,57329959992° = 45°34'23″ = 0,79553988302 rad
Uhol ∠ B = β = 57,56435627878° = 57°33'49″ = 1,00546736998 rad
Uhol ∠ C = γ = 76,86334412131° = 76°51'48″ = 1,34215201236 rad

Výška trojuholníka: v_a = 25,3219609883
Výška trojuholníka: v_b = 21,42442852856
Výška trojuholníka: v_c = 18,56877139142

Ťažnica: t_a = 25,82663431403
Ťažnica: t_b = 22,86991932521
Ťažnica: t_c = 18,84114436814

Polomer vpísanej kružnice: r = 7,14114284285
Polomer opísanej kružnice: R = 15,40330809243

Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[11,8; 18,56877139142]
Ťažisko: T[13,93333333333; 6,18992379714]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; 3,50107002101]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[13; 7,14114284285]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 134,42770040008° = 134°25'37″ = 0,79553988302 rad
∠ B' = β' = 122,43664372123° = 122°26'11″ = 1,00546736998 rad
∠ C' = γ' = 103,13765587869° = 103°8'12″ = 1,34215201236 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 22 b = 26 c = 30

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 22 + 26 + 30 = 78

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 8}{2} = 39

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 39 (39 - 22) (39 - 26) (39 - 30) S = 77571 = 278, 52

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 7 8 , 5 2}{2 2} = 25, 32 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 7 8 , 5 2}{2 6} = 21, 42 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 7 8 , 5 2}{3 0} = 18, 57

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 6 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2 \cdot 2 6 \cdot 3 0}) = 45 ° 3 4^{'} 23 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 2 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2 \cdot 2 2 \cdot 3 0}) = 57 ° 3 3^{'} 49 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 45 ° 3 4^{'} 23 " - 57 ° 3 3^{'} 49 " = 76 ° 5 1^{'} 48 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 7 8 , 5 2}{3 9} = 7, 14

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 2 \cdot 2 6 \cdot 3 0}{4 \cdot 7 , 1 4 1 \cdot 3 9} = 15, 4

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 6 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 25, 826 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2} = 22, 869 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 2 6 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 18, 841

Vypočítať ďaľší trojuholník