Trojuholník 23 27 30

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 23 b = 27 c = 30

Obsah trojuholníka: S = 297,32113749464
Obvod trojuholníka: o = 80
Semiperimeter (poloobvod): s = 40

Uhol ∠ A = α = 47,23334876223° = 47°14'1″ = 0,82443798762 rad
Uhol ∠ B = β = 59,51994142744° = 59°31'10″ = 1,03988097479 rad
Uhol ∠ C = γ = 73,24770981033° = 73°14'50″ = 1,27884030294 rad

Výška trojuholníka: v_a = 25,8544032604
Výška trojuholníka: v_b = 22,02438055516
Výška trojuholníka: v_c = 19,82114249964

Ťažnica: t_a = 26,12199157732
Ťažnica: t_b = 23,07105439901
Ťažnica: t_c = 20.10997512422

Polomer vpísanej kružnice: r = 7,43330343737
Polomer opísanej kružnice: R = 15,66548676902

Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[11,66766666667; 19,82114249964]
Ťažisko: T[13,88988888889; 6,60771416655]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; 4,51553161297]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[13; 7,43330343737]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 132,76765123777° = 132°45'59″ = 0,82443798762 rad
∠ B' = β' = 120,48105857256° = 120°28'50″ = 1,03988097479 rad
∠ C' = γ' = 106,75329018967° = 106°45'10″ = 1,27884030294 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 23 b = 27 c = 30

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 23 + 27 + 30 = 80

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{8 0}{2} = 40

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 40 (40 - 23) (40 - 27) (40 - 30) S = 88400 = 297, 32

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 9 7 , 3 2}{2 3} = 25, 85 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 9 7 , 3 2}{2 7} = 22, 02 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 9 7 , 3 2}{3 0} = 19, 82

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 7 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2 \cdot 2 7 \cdot 3 0}) = 47 ° 1 4^{'} 1 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 3 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 7 ^{2}}{2 \cdot 2 3 \cdot 3 0}) = 59 ° 3 1^{'} 10 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 47 ° 1 4^{'} 1 " - 59 ° 3 1^{'} 10 " = 73 ° 1 4^{'} 50 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 9 7 , 3 2}{4 0} = 7, 43

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 3 \cdot 2 7 \cdot 3 0}{4 \cdot 7 , 4 3 3 \cdot 4 0} = 15, 66

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 7 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 26, 12 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 2 7 ^{2}}{2} = 23, 071 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 2 7 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 20, 1

Vypočítať ďaľší trojuholník