Trojuholník 25 25 30
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 25 b = 25 c = 30Obsah trojuholníka: S = 300
Obvod trojuholníka: o = 80
Semiperimeter (poloobvod): s = 40
Uhol ∠ A = α = 53,13301023542° = 53°7'48″ = 0,9277295218 rad
Uhol ∠ B = β = 53,13301023542° = 53°7'48″ = 0,9277295218 rad
Uhol ∠ C = γ = 73,74397952917° = 73°44'23″ = 1,28770022176 rad
Výška trojuholníka: va = 24
Výška trojuholníka: vb = 24
Výška trojuholníka: vc = 20
Ťažnica: ta = 24,62221445045
Ťažnica: tb = 24,62221445045
Ťažnica: tc = 20
Polomer vpísanej kružnice: r = 7,5
Polomer opísanej kružnice: R = 15,625
Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[15; 20]
Ťažisko: T[15; 6,66766666667]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; 4,375]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[15; 7,5]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 126,87698976458° = 126°52'12″ = 0,9277295218 rad
∠ B' = β' = 126,87698976458° = 126°52'12″ = 0,9277295218 rad
∠ C' = γ' = 106,26602047083° = 106°15'37″ = 1,28770022176 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=25 b=25 c=30
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=25+25+30=80
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=280=40
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=40(40−25)(40−25)(40−30) S=90000=300
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=252⋅ 300=24 vb=b2 S=252⋅ 300=24 vc=c2 S=302⋅ 300=20
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 25⋅ 30252+302−252)=53°7′48" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 25⋅ 30252+302−252)=53°7′48" γ=180°−α−β=180°−53°7′48"−53°7′48"=73°44′23"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=40300=7,5
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 7,5⋅ 4025⋅ 25⋅ 30=15,63
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 252+2⋅ 302−252=24,622 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 252−252=24,622 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 252+2⋅ 252−302=20
Vypočítať ďaľší trojuholník