Trojuholník 27 27 27
Rovnostranný trojuholník.
Strany: a = 27 b = 27 c = 27Obsah trojuholníka: S = 315,66662596794
Obvod trojuholníka: o = 81
Semiperimeter (poloobvod): s = 40,5
Uhol ∠ A = α = 60° = 1,04771975512 rad
Uhol ∠ B = β = 60° = 1,04771975512 rad
Uhol ∠ C = γ = 60° = 1,04771975512 rad
Výška trojuholníka: va = 23,38326859022
Výška trojuholníka: vb = 23,38326859022
Výška trojuholníka: vc = 23,38326859022
Ťažnica: ta = 23,38326859022
Ťažnica: tb = 23,38326859022
Ťažnica: tc = 23,38326859022
Polomer vpísanej kružnice: r = 7,79442286341
Polomer opísanej kružnice: R = 15,58884572681
Súradnice vrcholov: A[27; 0] B[0; 0] C[13,5; 23,38326859022]
Ťažisko: T[13,5; 7,79442286341]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[13,5; 7,79442286341]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[13,5; 7,79442286341]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 120° = 1,04771975512 rad
∠ B' = β' = 120° = 1,04771975512 rad
∠ C' = γ' = 120° = 1,04771975512 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=27 b=27 c=27
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=27+27+27=81
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=281=40,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=40,5(40,5−27)(40,5−27)(40,5−27) S=99645,19=315,67
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=272⋅ 315,67=23,38 vb=b2 S=272⋅ 315,67=23,38 vc=c2 S=272⋅ 315,67=23,38
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 27⋅ 27272+272−272)=60° b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 27⋅ 27272+272−272)=60° γ=180°−α−β=180°−60°−60°=60°
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=40,5315,67=7,79
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 7,794⋅ 40,527⋅ 27⋅ 27=15,59
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 272+2⋅ 272−272=23,383 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 272+2⋅ 272−272=23,383 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 272+2⋅ 272−272=23,383
Vypočítať ďaľší trojuholník