Trojuholník 29 29 29




Rovnostranný trojuholník.

Strany: a = 29   b = 29   c = 29

Obsah trojuholníka: S = 364,16436822914
Obvod trojuholníka: o = 87
Semiperimeter (poloobvod): s = 43,5

Uhol ∠ A = α = 60° = 1,04771975512 rad
Uhol ∠ B = β = 60° = 1,04771975512 rad
Uhol ∠ C = γ = 60° = 1,04771975512 rad

Výška trojuholníka: va = 25,11547367097
Výška trojuholníka: vb = 25,11547367097
Výška trojuholníka: vc = 25,11547367097

Ťažnica: ta = 25,11547367097
Ťažnica: tb = 25,11547367097
Ťažnica: tc = 25,11547367097

Polomer vpísanej kružnice: r = 8,37215789032
Polomer opísanej kružnice: R = 16,74331578065

Súradnice vrcholov: A[29; 0] B[0; 0] C[14,5; 25,11547367097]
Ťažisko: T[14,5; 8,37215789032]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14,5; 8,37215789032]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[14,5; 8,37215789032]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 120° = 1,04771975512 rad
∠ B' = β' = 120° = 1,04771975512 rad
∠ C' = γ' = 120° = 1,04771975512 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=29 b=29 c=29

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=29+29+29=87

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=287=43,5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=43,5(43,529)(43,529)(43,529) S=132615,19=364,16

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=292 364,16=25,11 vb=b2 S=292 364,16=25,11 vc=c2 S=292 364,16=25,11

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 29 29292+292292)=60°  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 29 29292+292292)=60° γ=180°αβ=180°60°60°=60°

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=43,5364,16=8,37

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 8,372 43,529 29 29=16,74

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 292+2 292292=25,115 tb=22c2+2a2b2=22 292+2 292292=25,115 tc=22a2+2b2c2=22 292+2 292292=25,115

Vypočítať ďaľší trojuholník