Trojuholník 3 18 20




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 3   b = 18   c = 20

Obsah trojuholníka: S = 21,17663429326
Obvod trojuholníka: o = 41
Semiperimeter (poloobvod): s = 20,5

Uhol ∠ A = α = 6,75662861124° = 6°45'23″ = 0,11879194379 rad
Uhol ∠ B = β = 44,90105279607° = 44°54'2″ = 0,78436620488 rad
Uhol ∠ C = γ = 128,34331859269° = 128°20'35″ = 2,24400111669 rad

Výška trojuholníka: va = 14,11875619551
Výška trojuholníka: vb = 2,35329269925
Výška trojuholníka: vc = 2,11876342933

Ťažnica: ta = 18,96770767384
Ťažnica: tb = 11,11330553854
Ťažnica: tc = 8,15547532152

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,03329923382
Polomer opísanej kružnice: R = 12,75500768598

Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[2,125; 2,11876342933]
Ťažisko: T[7,375; 0,70658780978]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; -7,91097699038]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,5; 1,03329923382]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 173,24437138876° = 173°14'37″ = 0,11879194379 rad
∠ B' = β' = 135,09994720393° = 135°5'58″ = 0,78436620488 rad
∠ C' = γ' = 51,65768140731° = 51°39'25″ = 2,24400111669 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=3 b=18 c=20

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=3+18+20=41

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=241=20,5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=20,5(20,53)(20,518)(20,520) S=448,44=21,18

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=32 21,18=14,12 vb=b2 S=182 21,18=2,35 vc=c2 S=202 21,18=2,12

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 18 20182+20232)=6°4523"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 3 2032+202182)=44°542" γ=180°αβ=180°6°4523"44°542"=128°2035"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=20,521,18=1,03

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 1,033 20,53 18 20=12,75

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 182+2 20232=18,967 tb=22c2+2a2b2=22 202+2 32182=11,113 tc=22a2+2b2c2=22 32+2 182202=8,155

Vypočítať ďaľší trojuholník