Trojuholník 3 18 20
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 3 b = 18 c = 20Obsah trojuholníka: S = 21,17663429326
Obvod trojuholníka: o = 41
Semiperimeter (poloobvod): s = 20,5
Uhol ∠ A = α = 6,75662861124° = 6°45'23″ = 0,11879194379 rad
Uhol ∠ B = β = 44,90105279607° = 44°54'2″ = 0,78436620488 rad
Uhol ∠ C = γ = 128,34331859269° = 128°20'35″ = 2,24400111669 rad
Výška trojuholníka: va = 14,11875619551
Výška trojuholníka: vb = 2,35329269925
Výška trojuholníka: vc = 2,11876342933
Ťažnica: ta = 18,96770767384
Ťažnica: tb = 11,11330553854
Ťažnica: tc = 8,15547532152
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,03329923382
Polomer opísanej kružnice: R = 12,75500768598
Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[2,125; 2,11876342933]
Ťažisko: T[7,375; 0,70658780978]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; -7,91097699038]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,5; 1,03329923382]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 173,24437138876° = 173°14'37″ = 0,11879194379 rad
∠ B' = β' = 135,09994720393° = 135°5'58″ = 0,78436620488 rad
∠ C' = γ' = 51,65768140731° = 51°39'25″ = 2,24400111669 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=3 b=18 c=20
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=3+18+20=41
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=241=20,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=20,5(20,5−3)(20,5−18)(20,5−20) S=448,44=21,18
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=32⋅ 21,18=14,12 vb=b2 S=182⋅ 21,18=2,35 vc=c2 S=202⋅ 21,18=2,12
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 18⋅ 20182+202−32)=6°45′23" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 3⋅ 2032+202−182)=44°54′2" γ=180°−α−β=180°−6°45′23"−44°54′2"=128°20′35"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=20,521,18=1,03
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,033⋅ 20,53⋅ 18⋅ 20=12,75
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 182+2⋅ 202−32=18,967 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 202+2⋅ 32−182=11,113 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 32+2⋅ 182−202=8,155
Vypočítať ďaľší trojuholník