Trojuholník 4 13 14
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 4 b = 13 c = 14Obsah trojuholníka: S = 25,85441582729
Obvod trojuholníka: o = 31
Semiperimeter (poloobvod): s = 15,5
Uhol ∠ A = α = 16,50657537272° = 16°30'21″ = 0,28880797481 rad
Uhol ∠ B = β = 67,42327592381° = 67°25'22″ = 1,17767491395 rad
Uhol ∠ C = γ = 96,07114870347° = 96°4'17″ = 1,6776763766 rad
Výška trojuholníka: va = 12,92770791364
Výška trojuholníka: vb = 3,97875628112
Výška trojuholníka: vc = 3,69334511818
Ťažnica: ta = 13,36603892159
Ťažnica: tb = 7,98443597113
Ťažnica: tc = 6,59554529791
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,66880102112
Polomer opísanej kružnice: R = 7,03994865723
Súradnice vrcholov: A[14; 0] B[0; 0] C[1,53657142857; 3,69334511818]
Ťažisko: T[5,17985714286; 1,23111503939]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7; -0,74545610798]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,5; 1,66880102112]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 163,49442462728° = 163°29'39″ = 0,28880797481 rad
∠ B' = β' = 112,57772407619° = 112°34'38″ = 1,17767491395 rad
∠ C' = γ' = 83,92985129653° = 83°55'43″ = 1,6776763766 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=4 b=13 c=14
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=4+13+14=31
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=231=15,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=15,5(15,5−4)(15,5−13)(15,5−14) S=668,44=25,85
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 25,85=12,93 vb=b2 S=132⋅ 25,85=3,98 vc=c2 S=142⋅ 25,85=3,69
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 14132+142−42)=16°30′21" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 1442+142−132)=67°25′22" γ=180°−α−β=180°−16°30′21"−67°25′22"=96°4′17"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=15,525,85=1,67
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,668⋅ 15,54⋅ 13⋅ 14=7,04
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 142−42=13,36 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 142+2⋅ 42−132=7,984 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 132−142=6,595
Vypočítať ďaľší trojuholník