Trojuholník 4 18 21




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 4   b = 18   c = 21

Obsah trojuholníka: S = 25,66600370226
Obvod trojuholníka: o = 43
Semiperimeter (poloobvod): s = 21,5

Uhol ∠ A = α = 7,80329967597° = 7°48'11″ = 0,1366187985 rad
Uhol ∠ B = β = 37,65884620062° = 37°39'30″ = 0,65772641532 rad
Uhol ∠ C = γ = 134,53985412341° = 134°32'19″ = 2,34881405154 rad

Výška trojuholníka: va = 12,83300185113
Výška trojuholníka: vb = 2,85111152247
Výška trojuholníka: vc = 2,44438130498

Ťažnica: ta = 19,45550764583
Ťažnica: tb = 12,14549578015
Ťažnica: tc = 7,73298124169

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,19334900941
Polomer opísanej kružnice: R = 14,73110777326

Súradnice vrcholov: A[21; 0] B[0; 0] C[3,16766666667; 2,44438130498]
Ťažisko: T[8,05655555556; 0,81546043499]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10,5; -10,3322214243]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 1,19334900941]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 172,19770032403° = 172°11'49″ = 0,1366187985 rad
∠ B' = β' = 142,34215379938° = 142°20'30″ = 0,65772641532 rad
∠ C' = γ' = 45,46114587659° = 45°27'41″ = 2,34881405154 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=4 b=18 c=21

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=4+18+21=43

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=243=21,5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=21,5(21,54)(21,518)(21,521) S=658,44=25,66

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=42 25,66=12,83 vb=b2 S=182 25,66=2,85 vc=c2 S=212 25,66=2,44

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 18 21182+21242)=7°4811"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 4 2142+212182)=37°3930" γ=180°αβ=180°7°4811"37°3930"=134°3219"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=21,525,66=1,19

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 1,193 21,54 18 21=14,73

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 182+2 21242=19,455 tb=22c2+2a2b2=22 212+2 42182=12,145 tc=22a2+2b2c2=22 42+2 182212=7,73

Vypočítať ďaľší trojuholník