Trojuholník 4 18 21
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 4 b = 18 c = 21Obsah trojuholníka: S = 25,66600370226
Obvod trojuholníka: o = 43
Semiperimeter (poloobvod): s = 21,5
Uhol ∠ A = α = 7,80329967597° = 7°48'11″ = 0,1366187985 rad
Uhol ∠ B = β = 37,65884620062° = 37°39'30″ = 0,65772641532 rad
Uhol ∠ C = γ = 134,53985412341° = 134°32'19″ = 2,34881405154 rad
Výška trojuholníka: va = 12,83300185113
Výška trojuholníka: vb = 2,85111152247
Výška trojuholníka: vc = 2,44438130498
Ťažnica: ta = 19,45550764583
Ťažnica: tb = 12,14549578015
Ťažnica: tc = 7,73298124169
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,19334900941
Polomer opísanej kružnice: R = 14,73110777326
Súradnice vrcholov: A[21; 0] B[0; 0] C[3,16766666667; 2,44438130498]
Ťažisko: T[8,05655555556; 0,81546043499]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10,5; -10,3322214243]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 1,19334900941]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 172,19770032403° = 172°11'49″ = 0,1366187985 rad
∠ B' = β' = 142,34215379938° = 142°20'30″ = 0,65772641532 rad
∠ C' = γ' = 45,46114587659° = 45°27'41″ = 2,34881405154 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=4 b=18 c=21
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=4+18+21=43
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=243=21,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=21,5(21,5−4)(21,5−18)(21,5−21) S=658,44=25,66
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 25,66=12,83 vb=b2 S=182⋅ 25,66=2,85 vc=c2 S=212⋅ 25,66=2,44
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 18⋅ 21182+212−42)=7°48′11" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 2142+212−182)=37°39′30" γ=180°−α−β=180°−7°48′11"−37°39′30"=134°32′19"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=21,525,66=1,19
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,193⋅ 21,54⋅ 18⋅ 21=14,73
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 182+2⋅ 212−42=19,455 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 212+2⋅ 42−182=12,145 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 182−212=7,73
Vypočítať ďaľší trojuholník