Trojuholník 4 19 19

Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Strany: a = 4 b = 19 c = 19

Obsah trojuholníka: S = 37,78988872554
Obvod trojuholníka: o = 42
Semiperimeter (poloobvod): s = 21

Uhol ∠ A = α = 12,08546568381° = 12°5'5″ = 0,21109170508 rad
Uhol ∠ B = β = 83,95876715809° = 83°57'28″ = 1,46553378014 rad
Uhol ∠ C = γ = 83,95876715809° = 83°57'28″ = 1,46553378014 rad

Výška trojuholníka: v_a = 18,89444436277
Výška trojuholníka: v_b = 3,97877776058
Výška trojuholníka: v_c = 3,97877776058

Ťažnica: t_a = 18,89444436277
Ťažnica: t_b = 9,91221138008
Ťažnica: t_c = 9,91221138008

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,79994708217
Polomer opísanej kružnice: R = 9,55330730387

Súradnice vrcholov: A[19; 0] B[0; 0] C[0,42110526316; 3,97877776058]
Ťažisko: T[6,47436842105; 1,32659258686]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9,5; 1,00655866356]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2; 1,79994708217]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 167,91553431619° = 167°54'55″ = 0,21109170508 rad
∠ B' = β' = 96,04223284191° = 96°2'32″ = 1,46553378014 rad
∠ C' = γ' = 96,04223284191° = 96°2'32″ = 1,46553378014 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 4 b = 19 c = 19

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 4 + 19 + 19 = 42

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 2}{2} = 21

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 21 (21 - 4) (21 - 19) (21 - 19) S = 1428 = 37, 79

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 7 , 7 9}{4} = 18, 89 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 7 , 7 9}{1 9} = 3, 98 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 7 , 7 9}{1 9} = 3, 98

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 9 ^{2} + 1 9 ^{2} - 4 ^{2}}{2 \cdot 1 9 \cdot 1 9}) = 12 ° 5^{'} 5 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 ^{2} + 1 9 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 1 9}) = 83 ° 5 7^{'} 28 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 12 ° 5^{'} 5 " - 83 ° 5 7^{'} 28 " = 83 ° 5 7^{'} 28 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 7 , 7 9}{2 1} = 1, 8

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 \cdot 1 9 \cdot 1 9}{4 \cdot 1 , 7 9 9 \cdot 2 1} = 9, 55

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 4 ^{2}}{2} = 18, 894 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 4 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 9, 912 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 9, 912

Vypočítať ďaľší trojuholník