Trojuholník 4 26 29

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 4 b = 26 c = 29

Obsah trojuholníka: S = 36,28327438323
Obvod trojuholníka: o = 59
Semiperimeter (poloobvod): s = 29,5

Uhol ∠ A = α = 5,52327339087° = 5°31'22″ = 0,09663898904 rad
Uhol ∠ B = β = 38,72436358425° = 38°43'25″ = 0,67658549438 rad
Uhol ∠ C = γ = 135,75436302488° = 135°45'13″ = 2,36993478194 rad

Výška trojuholníka: v_a = 18,14113719161
Výška trojuholníka: v_b = 2,79109802948
Výška trojuholníka: v_c = 2,50222581953

Ťažnica: t_a = 27,46881633896
Ťažnica: t_b = 16,10990036936
Ťažnica: t_c = 11,65111801977

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,23299235197
Polomer opísanej kružnice: R = 20,78112287705

Súradnice vrcholov: A[29; 0] B[0; 0] C[3,12106896552; 2,50222581953]
Ťažisko: T[10,70768965517; 0,83440860651]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14,5; -14,88765533019]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 1,23299235197]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 174,47772660913° = 174°28'38″ = 0,09663898904 rad
∠ B' = β' = 141,27663641575° = 141°16'35″ = 0,67658549438 rad
∠ C' = γ' = 44,24663697513° = 44°14'47″ = 2,36993478194 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 4 b = 26 c = 29

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 4 + 26 + 29 = 59

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 9}{2} = 29, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 29, 5 (29, 5 - 4) (29, 5 - 26) (29, 5 - 29) S = 1316, 44 = 36, 28

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 6 , 2 8}{4} = 18, 14 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 6 , 2 8}{2 6} = 2, 79 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 6 , 2 8}{2 9} = 2, 5

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 6 ^{2} + 2 9 ^{2} - 4 ^{2}}{2 \cdot 2 6 \cdot 2 9}) = 5 ° 3 1^{'} 22 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 ^{2} + 2 9 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 2 9}) = 38 ° 4 3^{'} 25 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 5 ° 3 1^{'} 22 " - 38 ° 4 3^{'} 25 " = 135 ° 4 5^{'} 13 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 6 , 2 8}{2 9 , 5} = 1, 23

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 \cdot 2 6 \cdot 2 9}{4 \cdot 1 , 2 3 \cdot 2 9 , 5} = 20, 78

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 6 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 4 ^{2}}{2} = 27, 468 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 4 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2} = 16, 109 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 ^{2} + 2 \cdot 2 6 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 11, 651

Vypočítať ďaľší trojuholník