Trojuholník 5 13 15

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 5 b = 13 c = 15

Obsah trojuholníka: S = 31,56224381188
Obvod trojuholníka: o = 33
Semiperimeter (poloobvod): s = 16,5

Uhol ∠ A = α = 18,88878819509° = 18°53'16″ = 0,33296557288 rad
Uhol ∠ B = β = 57,31663611537° = 57°18'59″ = 11,0003592174 rad
Uhol ∠ C = γ = 103,79657568953° = 103°47'45″ = 1,81215777074 rad

Výška trojuholníka: v_a = 12,62549752475
Výška trojuholníka: v_b = 4,85657597106
Výška trojuholníka: v_c = 4,20883250825

Ťažnica: t_a = 13,81112273169
Ťažnica: t_b = 9,09767026993
Ťažnica: t_c = 6,38435726674

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,91328750375
Polomer opísanej kružnice: R = 7,72327874185

Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[2,7; 4,20883250825]
Ťažisko: T[5,9; 1,40327750275]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; -1,8421587769]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 1,91328750375]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 161,11221180491° = 161°6'44″ = 0,33296557288 rad
∠ B' = β' = 122,68436388463° = 122°41'1″ = 11,0003592174 rad
∠ C' = γ' = 76,20442431047° = 76°12'15″ = 1,81215777074 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 5 b = 13 c = 15

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 5 + 13 + 15 = 33

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 3}{2} = 16, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 16, 5 (16, 5 - 5) (16, 5 - 13) (16, 5 - 15) S = 996, 19 = 31, 56

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 1 , 5 6}{5} = 12, 62 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 1 , 5 6}{1 3} = 4, 86 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 1 , 5 6}{1 5} = 4, 21

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 1 5 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 1 5}) = 18 ° 5 3^{'} 16 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 5}) = 57 ° 1 8^{'} 59 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 18 ° 5 3^{'} 16 " - 57 ° 1 8^{'} 59 " = 103 ° 4 7^{'} 45 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 1 , 5 6}{1 6 , 5} = 1, 91

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 1 3 \cdot 1 5}{4 \cdot 1 , 9 1 3 \cdot 1 6 , 5} = 7, 72

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 13, 811 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 9, 097 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 6, 384

Vypočítať ďaľší trojuholník