Trojuholník 5 14 18
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 5 b = 14 c = 18Obsah trojuholníka: S = 23,70552209439
Obvod trojuholníka: o = 37
Semiperimeter (poloobvod): s = 18,5
Uhol ∠ A = α = 10,84440625637° = 10°50'39″ = 0,1899264596 rad
Uhol ∠ B = β = 31,78883306171° = 31°47'18″ = 0,5554811033 rad
Uhol ∠ C = γ = 137,36876068193° = 137°22'3″ = 2,39875170246 rad
Výška trojuholníka: va = 9,48220883776
Výška trojuholníka: vb = 3,38664601348
Výška trojuholníka: vc = 2,63439134382
Ťažnica: ta = 15,93295323221
Ťažnica: tb = 11,20326782512
Ťažnica: tc = 5,43113902456
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,28113632943
Polomer opísanej kružnice: R = 13,28882119405
Súradnice vrcholov: A[18; 0] B[0; 0] C[4,25; 2,63439134382]
Ťažisko: T[7,41766666667; 0,87879711461]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9; -9,77663273563]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,5; 1,28113632943]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 169,15659374363° = 169°9'21″ = 0,1899264596 rad
∠ B' = β' = 148,2121669383° = 148°12'42″ = 0,5554811033 rad
∠ C' = γ' = 42,63223931807° = 42°37'57″ = 2,39875170246 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=5 b=14 c=18
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=5+14+18=37
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=237=18,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=18,5(18,5−5)(18,5−14)(18,5−18) S=561,94=23,71
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 23,71=9,48 vb=b2 S=142⋅ 23,71=3,39 vc=c2 S=182⋅ 23,71=2,63
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 18142+182−52)=10°50′39" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 1852+182−142)=31°47′18" γ=180°−α−β=180°−10°50′39"−31°47′18"=137°22′3"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=18,523,71=1,28
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,281⋅ 18,55⋅ 14⋅ 18=13,29
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 182−52=15,93 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 182+2⋅ 52−142=11,203 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 142−182=5,431
Vypočítať ďaľší trojuholník