Trojuholník 5 15 18

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 5 b = 15 c = 18

Obsah trojuholníka: S = 32,61990128606
Obvod trojuholníka: o = 38
Semiperimeter (poloobvod): s = 19

Uhol ∠ A = α = 13,98223106495° = 13°58'56″ = 0,24440373579 rad
Uhol ∠ B = β = 46,45877809718° = 46°27'28″ = 0,81108412411 rad
Uhol ∠ C = γ = 119,56599083787° = 119°33'36″ = 2,08767140546 rad

Výška trojuholníka: v_a = 13,04876051442
Výška trojuholníka: v_b = 4,34992017147
Výška trojuholníka: v_c = 3,62443347623

Ťažnica: t_a = 16,37883393542
Ťažnica: t_b = 10,87442815855
Ťažnica: t_c = 6,63332495807

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,71767901506
Polomer opísanej kružnice: R = 10,34767263538

Súradnice vrcholov: A[18; 0] B[0; 0] C[3,44444444444; 3,62443347623]
Ťažisko: T[7,14881481481; 1,20881115874]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9; -5,10443850012]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 1,71767901506]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 166,01876893505° = 166°1'4″ = 0,24440373579 rad
∠ B' = β' = 133,54222190282° = 133°32'32″ = 0,81108412411 rad
∠ C' = γ' = 60,44400916213° = 60°26'24″ = 2,08767140546 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 5 b = 15 c = 18

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 5 + 15 + 18 = 38

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 8}{2} = 19

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 19 (19 - 5) (19 - 15) (19 - 18) S = 1064 = 32, 62

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 2 , 6 2}{5} = 13, 05 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 2 , 6 2}{1 5} = 4, 35 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 2 , 6 2}{1 8} = 3, 62

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 1 8 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 1 8}) = 13 ° 5 8^{'} 56 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 8 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 8}) = 46 ° 2 7^{'} 28 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 13 ° 5 8^{'} 56 " - 46 ° 2 7^{'} 28 " = 119 ° 3 3^{'} 36 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 2 , 6 2}{1 9} = 1, 72

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 1 5 \cdot 1 8}{4 \cdot 1 , 7 1 7 \cdot 1 9} = 10, 35

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 16, 378 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 10, 874 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 6, 633

Vypočítať ďaľší trojuholník