Trojuholník 5 16 18

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 5 b = 16 c = 18

Obsah trojuholníka: S = 38,52883986171
Obvod trojuholníka: o = 39
Semiperimeter (poloobvod): s = 19,5

Uhol ∠ A = α = 15,51990244034° = 15°31'8″ = 0,27108580725 rad
Uhol ∠ B = β = 58,89110774895° = 58°53'28″ = 1,02878432022 rad
Uhol ∠ C = γ = 105,59898981071° = 105°35'24″ = 1,84328913788 rad

Výška trojuholníka: v_a = 15,41113594468
Výška trojuholníka: v_b = 4,81660498271
Výška trojuholníka: v_c = 4,28109331797

Ťažnica: t_a = 16,84548805279
Ťažnica: t_b = 10,51218980208
Ťažnica: t_c = 7,71436243103

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,97658153137
Polomer opísanej kružnice: R = 9,34437571485

Súradnice vrcholov: A[18; 0] B[0; 0] C[2,58333333333; 4,28109331797]
Ťažisko: T[6,86111111111; 1,42769777266]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9; -2,51111347337]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 1,97658153137]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 164,48109755966° = 164°28'52″ = 0,27108580725 rad
∠ B' = β' = 121,10989225105° = 121°6'32″ = 1,02878432022 rad
∠ C' = γ' = 74,41101018929° = 74°24'36″ = 1,84328913788 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 5 b = 16 c = 18

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 5 + 16 + 18 = 39

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 9}{2} = 19, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 19, 5 (19, 5 - 5) (19, 5 - 16) (19, 5 - 18) S = 1484, 44 = 38, 53

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 8 , 5 3}{5} = 15, 41 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 8 , 5 3}{1 6} = 4, 82 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 8 , 5 3}{1 8} = 4, 28

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 1 8 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 1 8}) = 15 ° 3 1^{'} 8 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 8 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 8}) = 58 ° 5 3^{'} 28 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 15 ° 3 1^{'} 8 " - 58 ° 5 3^{'} 28 " = 105 ° 3 5^{'} 24 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 8 , 5 3}{1 9 , 5} = 1, 98

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 1 6 \cdot 1 8}{4 \cdot 1 , 9 7 6 \cdot 1 9 , 5} = 9, 34

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 16, 845 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 10, 512 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 7, 714

Vypočítať ďaľší trojuholník