Trojuholník 5 17 20

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 5 b = 17 c = 20

Obsah trojuholníka: S = 36,66106055596
Obvod trojuholníka: o = 42
Semiperimeter (poloobvod): s = 21

Uhol ∠ A = α = 12,45437005943° = 12°27'13″ = 0,21773580794 rad
Uhol ∠ B = β = 47,15663569564° = 47°9'23″ = 0,82330336921 rad
Uhol ∠ C = γ = 120,39899424493° = 120°23'24″ = 2,1011200882 rad

Výška trojuholníka: v_a = 14,66442422239
Výška trojuholníka: v_b = 4,31330124188
Výška trojuholníka: v_c = 3,6666060556

Ťažnica: t_a = 18,39215741577
Ťažnica: t_b = 11,84327192823
Ťažnica: t_c = 7,55498344353

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,74657431219
Polomer opísanej kružnice: R = 11,59328254188

Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[3,4; 3,6666060556]
Ťažisko: T[7,8; 1,22220201853]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; -5,86546058001]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 1,74657431219]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 167,54662994057° = 167°32'47″ = 0,21773580794 rad
∠ B' = β' = 132,84436430436° = 132°50'37″ = 0,82330336921 rad
∠ C' = γ' = 59,61100575507° = 59°36'36″ = 2,1011200882 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 5 b = 17 c = 20

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 5 + 17 + 20 = 42

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 2}{2} = 21

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 21 (21 - 5) (21 - 17) (21 - 20) S = 1344 = 36, 66

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 6 , 6 6}{5} = 14, 66 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 6 , 6 6}{1 7} = 4, 31 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 6 , 6 6}{2 0} = 3, 67

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 7 ^{2} + 2 0 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 1 7 \cdot 2 0}) = 12 ° 2 7^{'} 13 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 2 0}) = 47 ° 9^{'} 23 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 12 ° 2 7^{'} 13 " - 47 ° 9^{'} 23 " = 120 ° 2 3^{'} 24 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 6 , 6 6}{2 1} = 1, 75

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 1 7 \cdot 2 0}{4 \cdot 1 , 7 4 6 \cdot 2 1} = 11, 59

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 18, 392 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 11, 843 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 7, 55

Vypočítať ďaľší trojuholník