Trojuholník 5 25 29




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 5   b = 25   c = 29

Obsah trojuholníka: S = 40,32660151763
Obvod trojuholníka: o = 59
Semiperimeter (poloobvod): s = 29,5

Uhol ∠ A = α = 6,38770420437° = 6°23'13″ = 0,11114749131 rad
Uhol ∠ B = β = 33,79548485051° = 33°47'41″ = 0,59898313766 rad
Uhol ∠ C = γ = 139,81881094512° = 139°49'5″ = 2,44402863638 rad

Výška trojuholníka: va = 16,13304060705
Výška trojuholníka: vb = 3,22660812141
Výška trojuholníka: vc = 2,78111044949

Ťažnica: ta = 26,95883011334
Ťažnica: tb = 16,63658047596
Ťažnica: tc = 10,71221426428

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,36769835653
Polomer opísanej kružnice: R = 22,47330858241

Súradnice vrcholov: A[29; 0] B[0; 0] C[4,15551724138; 2,78111044949]
Ťažisko: T[11,05217241379; 0,92770348316]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14,5; -17,16994375696]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,5; 1,36769835653]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 173,61329579563° = 173°36'47″ = 0,11114749131 rad
∠ B' = β' = 146,20551514949° = 146°12'19″ = 0,59898313766 rad
∠ C' = γ' = 40,18218905488° = 40°10'55″ = 2,44402863638 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=5 b=25 c=29

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=5+25+29=59

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=259=29,5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=29,5(29,55)(29,525)(29,529) S=1626,19=40,33

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=52 40,33=16,13 vb=b2 S=252 40,33=3,23 vc=c2 S=292 40,33=2,78

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 25 29252+29252)=6°2313"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 5 2952+292252)=33°4741" γ=180°αβ=180°6°2313"33°4741"=139°495"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=29,540,33=1,37

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 1,367 29,55 25 29=22,47

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 252+2 29252=26,958 tb=22c2+2a2b2=22 292+2 52252=16,636 tc=22a2+2b2c2=22 52+2 252292=10,712

Vypočítať ďaľší trojuholník