Trojuholník 5 25 29
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 5 b = 25 c = 29Obsah trojuholníka: S = 40,32660151763
Obvod trojuholníka: o = 59
Semiperimeter (poloobvod): s = 29,5
Uhol ∠ A = α = 6,38770420437° = 6°23'13″ = 0,11114749131 rad
Uhol ∠ B = β = 33,79548485051° = 33°47'41″ = 0,59898313766 rad
Uhol ∠ C = γ = 139,81881094512° = 139°49'5″ = 2,44402863638 rad
Výška trojuholníka: va = 16,13304060705
Výška trojuholníka: vb = 3,22660812141
Výška trojuholníka: vc = 2,78111044949
Ťažnica: ta = 26,95883011334
Ťažnica: tb = 16,63658047596
Ťažnica: tc = 10,71221426428
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,36769835653
Polomer opísanej kružnice: R = 22,47330858241
Súradnice vrcholov: A[29; 0] B[0; 0] C[4,15551724138; 2,78111044949]
Ťažisko: T[11,05217241379; 0,92770348316]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14,5; -17,16994375696]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,5; 1,36769835653]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 173,61329579563° = 173°36'47″ = 0,11114749131 rad
∠ B' = β' = 146,20551514949° = 146°12'19″ = 0,59898313766 rad
∠ C' = γ' = 40,18218905488° = 40°10'55″ = 2,44402863638 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=5 b=25 c=29
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=5+25+29=59
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=259=29,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=29,5(29,5−5)(29,5−25)(29,5−29) S=1626,19=40,33
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 40,33=16,13 vb=b2 S=252⋅ 40,33=3,23 vc=c2 S=292⋅ 40,33=2,78
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 25⋅ 29252+292−52)=6°23′13" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 2952+292−252)=33°47′41" γ=180°−α−β=180°−6°23′13"−33°47′41"=139°49′5"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=29,540,33=1,37
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,367⋅ 29,55⋅ 25⋅ 29=22,47
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 252+2⋅ 292−52=26,958 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 292+2⋅ 52−252=16,636 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 252−292=10,712
Vypočítať ďaľší trojuholník