Trojuholník 5 28 28
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 5 b = 28 c = 28Obsah trojuholníka: S = 69,72204238369
Obvod trojuholníka: o = 61
Semiperimeter (poloobvod): s = 30,5
Uhol ∠ A = α = 10,24550321996° = 10°14'42″ = 0,17988095439 rad
Uhol ∠ B = β = 84,87774839002° = 84°52'39″ = 1,48113915549 rad
Uhol ∠ C = γ = 84,87774839002° = 84°52'39″ = 1,48113915549 rad
Výška trojuholníka: va = 27,88881695348
Výška trojuholníka: vb = 4,98800302741
Výška trojuholníka: vc = 4,98800302741
Ťažnica: ta = 27,88881695348
Ťažnica: tb = 14,44395290782
Ťažnica: tc = 14,44395290782
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,28659155356
Polomer opísanej kružnice: R = 14,05661394505
Súradnice vrcholov: A[28; 0] B[0; 0] C[0,44664285714; 4,98800302741]
Ťažisko: T[9,48221428571; 1,66600100914]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14; 1,25550124509]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,5; 2,28659155356]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 169,75549678004° = 169°45'18″ = 0,17988095439 rad
∠ B' = β' = 95,12325160998° = 95°7'21″ = 1,48113915549 rad
∠ C' = γ' = 95,12325160998° = 95°7'21″ = 1,48113915549 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=5 b=28 c=28
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=5+28+28=61
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=261=30,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=30,5(30,5−5)(30,5−28)(30,5−28) S=4860,94=69,72
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 69,72=27,89 vb=b2 S=282⋅ 69,72=4,98 vc=c2 S=282⋅ 69,72=4,98
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 28⋅ 28282+282−52)=10°14′42" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 2852+282−282)=84°52′39" γ=180°−α−β=180°−10°14′42"−84°52′39"=84°52′39"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=30,569,72=2,29
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,286⋅ 30,55⋅ 28⋅ 28=14,06
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 282+2⋅ 282−52=27,888 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 282+2⋅ 52−282=14,44 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 282−282=14,44
Vypočítať ďaľší trojuholník