Trojuholník 50 60 80

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 50 b = 60 c = 80

Obsah trojuholníka: S = 1498,12438266579
Obvod trojuholníka: o = 190
Semiperimeter (poloobvod): s = 95

Uhol ∠ A = α = 38,62548328731° = 38°37'29″ = 0,67441305067 rad
Uhol ∠ B = β = 48,50991831443° = 48°30'33″ = 0,84766449633 rad
Uhol ∠ C = γ = 92,86659839826° = 92°51'58″ = 1,62108171836 rad

Výška trojuholníka: v_a = 59,92549530663
Výška trojuholníka: v_b = 49,93774608886
Výška trojuholníka: v_c = 37,45330956664

Ťažnica: t_a = 66,14437827766
Ťažnica: t_b = 59,58218764391
Ťažnica: t_c = 38,07988655293

Polomer vpísanej kružnice: r = 15,77697244911
Polomer opísanej kružnice: R = 40,05500939457

Súradnice vrcholov: A[80; 0] B[0; 0] C[33,125; 37,45330956664]
Ťažisko: T[37,70883333333; 12,48443652221]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[40; -2,00325046973]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[35; 15,77697244911]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 141,3755167127° = 141°22'31″ = 0,67441305067 rad
∠ B' = β' = 131,49108168557° = 131°29'27″ = 0,84766449633 rad
∠ C' = γ' = 87,13440160174° = 87°8'2″ = 1,62108171836 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 50 b = 60 c = 80

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 50 + 60 + 80 = 190

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 9 0}{2} = 95

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 95 (95 - 50) (95 - 60) (95 - 80) S = 2244375 = 1498, 12

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 4 9 8 , 1 2}{5 0} = 59, 92 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 4 9 8 , 1 2}{6 0} = 49, 94 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 4 9 8 , 1 2}{8 0} = 37, 45

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{6 0 ^{2} + 8 0 ^{2} - 5 0 ^{2}}{2 \cdot 6 0 \cdot 8 0}) = 38 ° 3 7^{'} 29 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 0 ^{2} + 8 0 ^{2} - 6 0 ^{2}}{2 \cdot 5 0 \cdot 8 0}) = 48 ° 3 0^{'} 33 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 38 ° 3 7^{'} 29 " - 48 ° 3 0^{'} 33 " = 92 ° 5 1^{'} 58 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 4 9 8 , 1 2}{9 5} = 15, 77

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 0 \cdot 6 0 \cdot 8 0}{4 \cdot 1 5 , 7 7 \cdot 9 5} = 40, 05

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 0 ^{2} + 2 \cdot 8 0 ^{2} - 5 0 ^{2}}{2} = 66, 144 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 0 ^{2} + 2 \cdot 5 0 ^{2} - 6 0 ^{2}}{2} = 59, 582 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 0 ^{2} + 2 \cdot 6 0 ^{2} - 8 0 ^{2}}{2} = 38, 079

Vypočítať ďaľší trojuholník