Trojuholník 6 12 14

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 6 b = 12 c = 14

Obsah trojuholníka: S = 35,777708764
Obvod trojuholníka: o = 32
Semiperimeter (poloobvod): s = 16

Uhol ∠ A = α = 25,20987652968° = 25°12'32″ = 0,44399759548 rad
Uhol ∠ B = β = 58,41218644948° = 58°24'43″ = 1,01994793577 rad
Uhol ∠ C = γ = 96,37993702084° = 96°22'46″ = 1,68221373411 rad

Výška trojuholníka: v_a = 11,926569588
Výška trojuholníka: v_b = 5,963284794
Výška trojuholníka: v_c = 5,111101252

Ťažnica: t_a = 12,68985775404
Ťažnica: t_b = 8,944427191
Ťažnica: t_c = 6,40331242374

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,23660679775
Polomer opísanej kružnice: R = 7,04436141291

Súradnice vrcholov: A[14; 0] B[0; 0] C[3,14328571429; 5,111101252]
Ťažisko: T[5,71442857143; 1,704367084]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7; -0,78326237921]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 2,23660679775]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 154,79112347032° = 154°47'28″ = 0,44399759548 rad
∠ B' = β' = 121,58881355052° = 121°35'17″ = 1,01994793577 rad
∠ C' = γ' = 83,62106297916° = 83°37'14″ = 1,68221373411 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 6 b = 12 c = 14

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 6 + 12 + 14 = 32

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 2}{2} = 16

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 16 (16 - 6) (16 - 12) (16 - 14) S = 1280 = 35, 78

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 5 , 7 8}{6} = 11, 93 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 5 , 7 8}{1 2} = 5, 96 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 5 , 7 8}{1 4} = 5, 11

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 4 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 4}) = 25 ° 1 2^{'} 32 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 1 4 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 1 4}) = 58 ° 2 4^{'} 43 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 25 ° 1 2^{'} 32 " - 58 ° 2 4^{'} 43 " = 96 ° 2 2^{'} 46 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 5 , 7 8}{1 6} = 2, 24

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 \cdot 1 2 \cdot 1 4}{4 \cdot 2 , 2 3 6 \cdot 1 6} = 7, 04

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 12, 689 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 8, 944 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 6, 403

Vypočítať ďaľší trojuholník