Trojuholník 6 13 15

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 6 b = 13 c = 15

Obsah trojuholníka: S = 38,67881592116
Obvod trojuholníka: o = 34
Semiperimeter (poloobvod): s = 17

Uhol ∠ A = α = 23,37219828432° = 23°22'19″ = 0,40879180533 rad
Uhol ∠ B = β = 59,26221313279° = 59°15'44″ = 1,03443193134 rad
Uhol ∠ C = γ = 97,3665885829° = 97°21'57″ = 1,69993552868 rad

Výška trojuholníka: v_a = 12,89327197372
Výška trojuholníka: v_b = 5,95504860326
Výška trojuholníka: v_c = 5,15770878949

Ťažnica: t_a = 13,71113092008
Ťažnica: t_b = 9,3944147114
Ťažnica: t_c = 6,80107352544

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,2755185836
Polomer opísanej kružnice: R = 7,56224074662

Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[3,06766666667; 5,15770878949]
Ťažisko: T[6,02222222222; 1,71990292983]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; -0,97695394187]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 2,2755185836]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 156,62880171568° = 156°37'41″ = 0,40879180533 rad
∠ B' = β' = 120,73878686721° = 120°44'16″ = 1,03443193134 rad
∠ C' = γ' = 82,6344114171° = 82°38'3″ = 1,69993552868 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 6 b = 13 c = 15

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 6 + 13 + 15 = 34

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 4}{2} = 17

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 17 (17 - 6) (17 - 13) (17 - 15) S = 1496 = 38, 68

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 8 , 6 8}{6} = 12, 89 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 8 , 6 8}{1 3} = 5, 95 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 8 , 6 8}{1 5} = 5, 16

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 1 5 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 1 5}) = 23 ° 2 2^{'} 19 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 1 5}) = 59 ° 1 5^{'} 44 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 23 ° 2 2^{'} 19 " - 59 ° 1 5^{'} 44 " = 97 ° 2 1^{'} 57 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 8 , 6 8}{1 7} = 2, 28

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 \cdot 1 3 \cdot 1 5}{4 \cdot 2 , 2 7 5 \cdot 1 7} = 7, 56

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 13, 711 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 9, 394 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 6, 801

Vypočítať ďaľší trojuholník