Trojuholník 6 14 15

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 6 b = 14 c = 15

Obsah trojuholníka: S = 41,9643525829
Obvod trojuholníka: o = 35
Semiperimeter (poloobvod): s = 17,5

Uhol ∠ A = α = 23,55664643091° = 23°33'23″ = 0,41111378623 rad
Uhol ∠ B = β = 68,83215511542° = 68°49'54″ = 1,20113371969 rad
Uhol ∠ C = γ = 87,61219845367° = 87°36'43″ = 1,52991175944 rad

Výška trojuholníka: v_a = 13,9887841943
Výška trojuholníka: v_b = 5,99547894041
Výška trojuholníka: v_c = 5,59551367772

Ťažnica: t_a = 14,19550695666
Ťažnica: t_b = 9,02877350426
Ťažnica: t_c = 7,73298124169

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,39879157617
Polomer opísanej kružnice: R = 7,50765189061

Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[2,16766666667; 5,59551367772]
Ťažisko: T[5,72222222222; 1,86550455924]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; 0,31327716211]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 2,39879157617]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 156,44435356909° = 156°26'37″ = 0,41111378623 rad
∠ B' = β' = 111,16884488458° = 111°10'6″ = 1,20113371969 rad
∠ C' = γ' = 92,38880154633° = 92°23'17″ = 1,52991175944 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 6 b = 14 c = 15

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 6 + 14 + 15 = 35

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 5}{2} = 17, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 17, 5 (17, 5 - 6) (17, 5 - 14) (17, 5 - 15) S = 1760, 94 = 41, 96

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 1 , 9 6}{6} = 13, 99 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 1 , 9 6}{1 4} = 5, 99 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 1 , 9 6}{1 5} = 5, 6

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 1 5 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 1 5}) = 23 ° 3 3^{'} 23 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 1 5}) = 68 ° 4 9^{'} 54 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 23 ° 3 3^{'} 23 " - 68 ° 4 9^{'} 54 " = 87 ° 3 6^{'} 43 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 1 , 9 6}{1 7 , 5} = 2, 4

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 \cdot 1 4 \cdot 1 5}{4 \cdot 2 , 3 9 8 \cdot 1 7 , 5} = 7, 51

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 14, 195 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 9, 028 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 7, 73

Vypočítať ďaľší trojuholník