Trojuholník 6 17 21
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 6 b = 17 c = 21Obsah trojuholníka: S = 41,95223539268
Obvod trojuholníka: o = 44
Semiperimeter (poloobvod): s = 22
Uhol ∠ A = α = 13,59332257052° = 13°35'36″ = 0,23772465445 rad
Uhol ∠ B = β = 41,7522205202° = 41°45'8″ = 0,72987134507 rad
Uhol ∠ C = γ = 124,65545690928° = 124°39'16″ = 2,17656326583 rad
Výška trojuholníka: va = 13,98441179756
Výška trojuholníka: vb = 4,93655710502
Výška trojuholníka: vc = 3,99554622787
Ťažnica: ta = 18,86879622641
Ťažnica: tb = 12,89437969582
Ťažnica: tc = 7,22884161474
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,90769251785
Polomer opísanej kružnice: R = 12,76444804135
Súradnice vrcholov: A[21; 0] B[0; 0] C[4,47661904762; 3,99554622787]
Ťažisko: T[8,49220634921; 1,33218207596]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10,5; -7,25882339606]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5; 1,90769251785]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 166,40767742948° = 166°24'24″ = 0,23772465445 rad
∠ B' = β' = 138,2487794798° = 138°14'52″ = 0,72987134507 rad
∠ C' = γ' = 55,34554309073° = 55°20'44″ = 2,17656326583 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=6 b=17 c=21
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=6+17+21=44
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=244=22
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=22(22−6)(22−17)(22−21) S=1760=41,95
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 41,95=13,98 vb=b2 S=172⋅ 41,95=4,94 vc=c2 S=212⋅ 41,95=4
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 17⋅ 21172+212−62)=13°35′36" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 2162+212−172)=41°45′8" γ=180°−α−β=180°−13°35′36"−41°45′8"=124°39′16"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2241,95=1,91
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,907⋅ 226⋅ 17⋅ 21=12,76
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 172+2⋅ 212−62=18,868 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 212+2⋅ 62−172=12,894 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 172−212=7,228
Vypočítať ďaľší trojuholník