Trojuholník 6 18 22

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 6 b = 18 c = 22

Obsah trojuholníka: S = 44,21553819389
Obvod trojuholníka: o = 46
Semiperimeter (poloobvod): s = 23

Uhol ∠ A = α = 12,90435205392° = 12°54'13″ = 0,22552089185 rad
Uhol ∠ B = β = 42,06216646665° = 42°3'42″ = 0,73441145373 rad
Uhol ∠ C = γ = 125,03548147943° = 125°2'5″ = 2,18222691978 rad

Výška trojuholníka: v_a = 14,73884606463
Výška trojuholníka: v_b = 4,91328202154
Výška trojuholníka: v_c = 4,02195801763

Ťažnica: t_a = 19,87546069144
Ťažnica: t_b = 13,37990881603
Ťažnica: t_c = 7,68111457479

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,92224079104
Polomer opísanej kružnice: R = 13,4344238809

Súradnice vrcholov: A[22; 0] B[0; 0] C[4,45545454545; 4,02195801763]
Ťažisko: T[8,81881818182; 1,34398600588]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11; -7,71222482052]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5; 1,92224079104]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 167,09664794608° = 167°5'47″ = 0,22552089185 rad
∠ B' = β' = 137,93883353335° = 137°56'18″ = 0,73441145373 rad
∠ C' = γ' = 54,96551852057° = 54°57'55″ = 2,18222691978 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 6 b = 18 c = 22

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 6 + 18 + 22 = 46

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 6}{2} = 23

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 23 (23 - 6) (23 - 18) (23 - 22) S = 1955 = 44, 22

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 4 , 2 2}{6} = 14, 74 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 4 , 2 2}{1 8} = 4, 91 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 4 , 2 2}{2 2} = 4, 02

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 2 2 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 2 2}) = 12 ° 5 4^{'} 13 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 2 2}) = 42 ° 3^{'} 42 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 12 ° 5 4^{'} 13 " - 42 ° 3^{'} 42 " = 125 ° 2^{'} 5 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 4 , 2 2}{2 3} = 1, 92

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 \cdot 1 8 \cdot 2 2}{4 \cdot 1 , 9 2 2 \cdot 2 3} = 13, 43

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 19, 875 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 13, 379 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 7, 681

Vypočítať ďaľší trojuholník