Trojuholník 6 21 23




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 6   b = 21   c = 23

Obsah trojuholníka: S = 61,64441400297
Obvod trojuholníka: o = 50
Semiperimeter (poloobvod): s = 25

Uhol ∠ A = α = 14,78987097356° = 14°47'19″ = 0,2588111677 rad
Uhol ∠ B = β = 63,30327985505° = 63°18'10″ = 1,10548422604 rad
Uhol ∠ C = γ = 101,90884917139° = 101°54'31″ = 1,77986387161 rad

Výška trojuholníka: va = 20,54880466766
Výška trojuholníka: vb = 5,8710870479
Výška trojuholníka: vc = 5,36603600026

Ťažnica: ta = 21,81774242293
Ťažnica: tb = 13,12444047484
Ťažnica: tc = 10,3087764064

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,46657656012
Polomer opísanej kružnice: R = 11,75329419609

Súradnice vrcholov: A[23; 0] B[0; 0] C[2,69656521739; 5,36603600026]
Ťažisko: T[8,56552173913; 1,78767866675]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11,5; -2,42552102459]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 2,46657656012]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 165,21112902644° = 165°12'41″ = 0,2588111677 rad
∠ B' = β' = 116,69772014495° = 116°41'50″ = 1,10548422604 rad
∠ C' = γ' = 78,09215082861° = 78°5'29″ = 1,77986387161 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=6 b=21 c=23

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=6+21+23=50

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=250=25

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=25(256)(2521)(2523) S=3800=61,64

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=62 61,64=20,55 vb=b2 S=212 61,64=5,87 vc=c2 S=232 61,64=5,36

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 21 23212+23262)=14°4719"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 6 2362+232212)=63°1810" γ=180°αβ=180°14°4719"63°1810"=101°5431"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=2561,64=2,47

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 2,466 256 21 23=11,75

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 212+2 23262=21,817 tb=22c2+2a2b2=22 232+2 62212=13,124 tc=22a2+2b2c2=22 62+2 212232=10,308

Vypočítať ďaľší trojuholník