Trojuholník 6 23 25

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 6 b = 23 c = 25

Obsah trojuholníka: S = 67,35498329619
Obvod trojuholníka: o = 54
Semiperimeter (poloobvod): s = 27

Uhol ∠ A = α = 13,54880233388° = 13°32'53″ = 0,23664576144 rad
Uhol ∠ B = β = 63,89661188627° = 63°53'46″ = 1,11551976534 rad
Uhol ∠ C = γ = 102,55658577986° = 102°33'21″ = 1,79899373858 rad

Výška trojuholníka: v_a = 22,45499443206
Výška trojuholníka: v_b = 5,85765072141
Výška trojuholníka: v_c = 5,3887986637

Ťažnica: t_a = 23,83327505756
Ťažnica: t_b = 14,08801278403
Ťažnica: t_c = 11,23661025271

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,49444382578
Polomer opísanej kružnice: R = 12,80662678416

Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[2,64; 5,3887986637]
Ťažisko: T[9,21333333333; 1,79659955457]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; -2,78439712699]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 2,49444382578]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 166,45219766613° = 166°27'7″ = 0,23664576144 rad
∠ B' = β' = 116,10438811373° = 116°6'14″ = 1,11551976534 rad
∠ C' = γ' = 77,44441422014° = 77°26'39″ = 1,79899373858 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 6 b = 23 c = 25

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 6 + 23 + 25 = 54

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 4}{2} = 27

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 27 (27 - 6) (27 - 23) (27 - 25) S = 4536 = 67, 35

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 7 , 3 5}{6} = 22, 45 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 7 , 3 5}{2 3} = 5, 86 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 7 , 3 5}{2 5} = 5, 39

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 3 ^{2} + 2 5 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 2 3 \cdot 2 5}) = 13 ° 3 2^{'} 53 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 2 5 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 2 5}) = 63 ° 5 3^{'} 46 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 13 ° 3 2^{'} 53 " - 63 ° 5 3^{'} 46 " = 102 ° 3 3^{'} 21 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 7 , 3 5}{2 7} = 2, 49

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 \cdot 2 3 \cdot 2 5}{4 \cdot 2 , 4 9 4 \cdot 2 7} = 12, 81

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 23, 833 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 14, 08 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 11, 236

Vypočítať ďaľší trojuholník