Trojuholník 6 23 27

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 6 b = 23 c = 27

Obsah trojuholníka: S = 55,4987747702
Obvod trojuholníka: o = 56
Semiperimeter (poloobvod): s = 28

Uhol ∠ A = α = 10,29661852424° = 10°17'46″ = 0,18797023329 rad
Uhol ∠ B = β = 43,24879853748° = 43°14'53″ = 0,75548197396 rad
Uhol ∠ C = γ = 126,45658293828° = 126°27'21″ = 2,20770705811 rad

Výška trojuholníka: v_a = 18,4999249234
Výška trojuholníka: v_b = 4,82658911045
Výška trojuholníka: v_c = 4,11109442742

Ťažnica: t_a = 24.9899799196
Ťažnica: t_b = 15,81992920196
Ťažnica: t_c = 10,01224921973

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,98220624179
Polomer opísanej kružnice: R = 16,784446493

Súradnice vrcholov: A[27; 0] B[0; 0] C[4,37703703704; 4,11109442742]
Ťažisko: T[10,45767901235; 1,37703147581]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[13,5; -9,9733377712]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5; 1,98220624179]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 169,70438147576° = 169°42'14″ = 0,18797023329 rad
∠ B' = β' = 136,75220146252° = 136°45'7″ = 0,75548197396 rad
∠ C' = γ' = 53,54441706172° = 53°32'39″ = 2,20770705811 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 6 b = 23 c = 27

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 6 + 23 + 27 = 56

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 6}{2} = 28

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 28 (28 - 6) (28 - 23) (28 - 27) S = 3080 = 55, 5

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 5 , 5}{6} = 18, 5 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 5 , 5}{2 3} = 4, 83 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 5 , 5}{2 7} = 4, 11

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 3 ^{2} + 2 7 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 2 3 \cdot 2 7}) = 10 ° 1 7^{'} 46 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 2 7 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 2 7}) = 43 ° 1 4^{'} 53 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 10 ° 1 7^{'} 46 " - 43 ° 1 4^{'} 53 " = 126 ° 2 7^{'} 21 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 5 , 5}{2 8} = 1, 98

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 \cdot 2 3 \cdot 2 7}{4 \cdot 1 , 9 8 2 \cdot 2 8} = 16, 78

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 2 7 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 24, 9 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 7 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 15, 819 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 2 7 ^{2}}{2} = 10, 012

Vypočítať ďaľší trojuholník