Trojuholník 6 26 28

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 6 b = 26 c = 28

Obsah trojuholníka: S = 75,8954663844
Obvod trojuholníka: o = 60
Semiperimeter (poloobvod): s = 30

Uhol ∠ A = α = 12,03545697281° = 12°2'4″ = 0,21100428658 rad
Uhol ∠ B = β = 64,62330664748° = 64°37'23″ = 1,12878852827 rad
Uhol ∠ C = γ = 103,34223637971° = 103°20'32″ = 1,80436645051 rad

Výška trojuholníka: v_a = 25,29882212813
Výška trojuholníka: v_b = 5,83880510649
Výška trojuholníka: v_c = 5,42110474174

Ťažnica: t_a = 26,85114431642
Ťažnica: t_b = 15,52441746963
Ťažnica: t_c = 12,64991106407

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,53298221281
Polomer opísanej kružnice: R = 14,38883633538

Súradnice vrcholov: A[28; 0] B[0; 0] C[2,57114285714; 5,42110474174]
Ťažisko: T[10,19904761905; 1,80770158058]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14; -3,32203915432]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 2,53298221281]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 167,96554302719° = 167°57'56″ = 0,21100428658 rad
∠ B' = β' = 115,37769335252° = 115°22'37″ = 1,12878852827 rad
∠ C' = γ' = 76,65876362029° = 76°39'28″ = 1,80436645051 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 6 b = 26 c = 28

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 6 + 26 + 28 = 60

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 0}{2} = 30

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 30 (30 - 6) (30 - 26) (30 - 28) S = 5760 = 75, 89

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 5 , 8 9}{6} = 25, 3 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 5 , 8 9}{2 6} = 5, 84 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 5 , 8 9}{2 8} = 5, 42

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 6 ^{2} + 2 8 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 2 6 \cdot 2 8}) = 12 ° 2^{'} 4 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 2 8 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 2 8}) = 64 ° 3 7^{'} 23 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 12 ° 2^{'} 4 " - 64 ° 3 7^{'} 23 " = 103 ° 2 0^{'} 32 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 5 , 8 9}{3 0} = 2, 53

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 \cdot 2 6 \cdot 2 8}{4 \cdot 2 , 5 3 \cdot 3 0} = 14, 39

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 6 ^{2} + 2 \cdot 2 8 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 26, 851 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 8 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2} = 15, 524 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 2 6 ^{2} - 2 8 ^{2}}{2} = 12, 649

Vypočítať ďaľší trojuholník