Trojuholník 7 10 13
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 7 b = 10 c = 13Obsah trojuholníka: S = 34,64110161514
Obvod trojuholníka: o = 30
Semiperimeter (poloobvod): s = 15
Uhol ∠ A = α = 32,2044227504° = 32°12'15″ = 0,5622069803 rad
Uhol ∠ B = β = 49,58325617943° = 49°34'57″ = 0,86553789549 rad
Uhol ∠ C = γ = 98,21332107017° = 98°12'48″ = 1,71441438957 rad
Výška trojuholníka: va = 9,89774331861
Výška trojuholníka: vb = 6,92882032303
Výška trojuholníka: vc = 5,32993871002
Ťažnica: ta = 11,05766721937
Ťažnica: tb = 9,16551513899
Ťažnica: tc = 5,67989083458
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,30994010768
Polomer opísanej kružnice: R = 6,5677359312
Súradnice vrcholov: A[13; 0] B[0; 0] C[4,53884615385; 5,32993871002]
Ťažisko: T[5,84661538462; 1,77664623667]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,5; -0,93881941874]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5; 2,30994010768]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 147,7965772496° = 147°47'45″ = 0,5622069803 rad
∠ B' = β' = 130,41774382057° = 130°25'3″ = 0,86553789549 rad
∠ C' = γ' = 81,78767892983° = 81°47'12″ = 1,71441438957 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=10 c=13
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7+10+13=30
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=230=15
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=15(15−7)(15−10)(15−13) S=1200=34,64
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 34,64=9,9 vb=b2 S=102⋅ 34,64=6,93 vc=c2 S=132⋅ 34,64=5,33
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 13102+132−72)=32°12′15" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1372+132−102)=49°34′57" γ=180°−α−β=180°−32°12′15"−49°34′57"=98°12′48"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1534,64=2,31
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,309⋅ 157⋅ 10⋅ 13=6,57
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 132−72=11,057 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 132+2⋅ 72−102=9,165 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 102−132=5,679
Vypočítať ďaľší trojuholník