Trojuholník 7 10 14
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 7 b = 10 c = 14Obsah trojuholníka: S = 32,96987351896
Obvod trojuholníka: o = 31
Semiperimeter (poloobvod): s = 15,5
Uhol ∠ A = α = 28,09880547134° = 28°5'53″ = 0,49904035682 rad
Uhol ∠ B = β = 42,28659661512° = 42°17'9″ = 0,73880293367 rad
Uhol ∠ C = γ = 109,61659791354° = 109°36'58″ = 1,91331597487 rad
Výška trojuholníka: va = 9,42196386256
Výška trojuholníka: vb = 6,59437470379
Výška trojuholníka: vc = 4,71098193128
Ťažnica: ta = 11,65111801977
Ťažnica: tb = 9,87442088291
Ťažnica: tc = 5,05497524692
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,12770151735
Polomer opísanej kružnice: R = 7,43112829592
Súradnice vrcholov: A[14; 0] B[0; 0] C[5,17985714286; 4,71098193128]
Ťažisko: T[6,39328571429; 1,57699397709]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7; -2,49547878506]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 2,12770151735]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 151,90219452866° = 151°54'7″ = 0,49904035682 rad
∠ B' = β' = 137,71440338488° = 137°42'51″ = 0,73880293367 rad
∠ C' = γ' = 70,38440208646° = 70°23'2″ = 1,91331597487 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=10 c=14
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7+10+14=31
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=231=15,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=15,5(15,5−7)(15,5−10)(15,5−14) S=1086,94=32,97
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 32,97=9,42 vb=b2 S=102⋅ 32,97=6,59 vc=c2 S=142⋅ 32,97=4,71
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 14102+142−72)=28°5′53" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1472+142−102)=42°17′9" γ=180°−α−β=180°−28°5′53"−42°17′9"=109°36′58"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=15,532,97=2,13
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,127⋅ 15,57⋅ 10⋅ 14=7,43
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 142−72=11,651 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 142+2⋅ 72−102=9,874 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 102−142=5,05
Vypočítať ďaľší trojuholník