Trojuholník 7 10 15

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 7 b = 10 c = 15

Obsah trojuholníka: S = 29,39438769134
Obvod trojuholníka: o = 32
Semiperimeter (poloobvod): s = 16

Uhol ∠ A = α = 23,07439180656° = 23°4'26″ = 0,40327158416 rad
Uhol ∠ B = β = 34,048773237° = 34°2'52″ = 0,59442450327 rad
Uhol ∠ C = γ = 122,87883495644° = 122°52'42″ = 2,14546317793 rad

Výška trojuholníka: v_a = 8,39882505467
Výška trojuholníka: v_b = 5,87987753827
Výška trojuholníka: v_c = 3,91991835885

Ťažnica: t_a = 12,25876506721
Ťažnica: t_b = 10,58330052443
Ťažnica: t_c = 4,27220018727

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,83771173071
Polomer opísanej kružnice: R = 8,93304313539

Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[5,8; 3,91991835885]
Ťažisko: T[6,93333333333; 1,30663945295]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; -4,84879484493]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 1,83771173071]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 156,92660819344° = 156°55'34″ = 0,40327158416 rad
∠ B' = β' = 145,952226763° = 145°57'8″ = 0,59442450327 rad
∠ C' = γ' = 57,12216504356° = 57°7'18″ = 2,14546317793 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 7 b = 10 c = 15

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 7 + 10 + 15 = 32

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 2}{2} = 16

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 16 (16 - 7) (16 - 10) (16 - 15) S = 864 = 29, 39

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 9 , 3 9}{7} = 8, 4 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 9 , 3 9}{1 0} = 5, 88 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 9 , 3 9}{1 5} = 3, 92

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 5}) = 23 ° 4^{'} 26 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 5}) = 34 ° 2^{'} 52 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 23 ° 4^{'} 26 " - 34 ° 2^{'} 52 " = 122 ° 5 2^{'} 42 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 9 , 3 9}{1 6} = 1, 84

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 1 0 \cdot 1 5}{4 \cdot 1 , 8 3 7 \cdot 1 6} = 8, 93

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 12, 258 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 10, 583 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 4, 272

Vypočítať ďaľší trojuholník