Trojuholník 7 11 12
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 7 b = 11 c = 12Obsah trojuholníka: S = 37,9477331922
Obvod trojuholníka: o = 30
Semiperimeter (poloobvod): s = 15
Uhol ∠ A = α = 35,09768012276° = 35°5'48″ = 0,61325547383 rad
Uhol ∠ B = β = 64,62330664748° = 64°37'23″ = 1,12878852827 rad
Uhol ∠ C = γ = 80,28801322976° = 80°16'48″ = 1,40111526325 rad
Výška trojuholníka: va = 10,84220948349
Výška trojuholníka: vb = 6.98995148949
Výška trojuholníka: vc = 6,32545553203
Ťažnica: ta = 10,96658560997
Ťažnica: tb = 8,1399410298
Ťažnica: tc = 7
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,53298221281
Polomer opísanej kružnice: R = 6,08773844958
Súradnice vrcholov: A[12; 0] B[0; 0] C[3; 6,32545553203]
Ťažisko: T[5; 2,10881851068]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6; 1,02877402396]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 2,53298221281]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 144,90331987724° = 144°54'12″ = 0,61325547383 rad
∠ B' = β' = 115,37769335252° = 115°22'37″ = 1,12878852827 rad
∠ C' = γ' = 99,72198677024° = 99°43'12″ = 1,40111526325 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=11 c=12
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7+11+12=30
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=230=15
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=15(15−7)(15−11)(15−12) S=1440=37,95
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 37,95=10,84 vb=b2 S=112⋅ 37,95=6,9 vc=c2 S=122⋅ 37,95=6,32
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 12112+122−72)=35°5′48" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1272+122−112)=64°37′23" γ=180°−α−β=180°−35°5′48"−64°37′23"=80°16′48"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1537,95=2,53
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,53⋅ 157⋅ 11⋅ 12=6,09
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 122−72=10,966 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 122+2⋅ 72−112=8,139 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 112−122=7
Vypočítať ďaľší trojuholník