Trojuholník 7 11 13

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 7 b = 11 c = 13

Obsah trojuholníka: S = 38,49991883031
Obvod trojuholníka: o = 31
Semiperimeter (poloobvod): s = 15,5

Uhol ∠ A = α = 32,57881984923° = 32°34'42″ = 0,56985968281 rad
Uhol ∠ B = β = 57,79438546387° = 57°47'38″ = 1,00986930509 rad
Uhol ∠ C = γ = 89,6287946869° = 89°37'41″ = 1,56443027747 rad

Výška trojuholníka: v_a = 110,9997680866
Výška trojuholníka: v_b = 76,9998524188
Výška trojuholníka: v_c = 5,92329520466

Ťažnica: t_a = 11,52217186218
Ťažnica: t_b = 8,87441196746
Ťažnica: t_c = 6,53883484153

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,48438186002
Polomer opísanej kružnice: R = 6.55001370426

Súradnice vrcholov: A[13; 0] B[0; 0] C[3,73107692308; 5,92329520466]
Ťažisko: T[5,57769230769; 1,97443173489]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,5; 0,04222086821]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,5; 2,48438186002]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 147,42218015077° = 147°25'18″ = 0,56985968281 rad
∠ B' = β' = 122,20661453613° = 122°12'22″ = 1,00986930509 rad
∠ C' = γ' = 90,3722053131° = 90°22'19″ = 1,56443027747 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 7 b = 11 c = 13

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 7 + 11 + 13 = 31

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 1}{2} = 15, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 15, 5 (15, 5 - 7) (15, 5 - 11) (15, 5 - 13) S = 1482, 19 = 38, 5

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 8 , 5}{7} = 11 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 8 , 5}{1 1} = 7 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 8 , 5}{1 3} = 5, 92

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 1 3 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 1 3}) = 32 ° 3 4^{'} 42 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 3 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 3}) = 57 ° 4 7^{'} 38 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 32 ° 3 4^{'} 42 " - 57 ° 4 7^{'} 38 " = 89 ° 3 7^{'} 41 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 8 , 5}{1 5 , 5} = 2, 48

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 1 1 \cdot 1 3}{4 \cdot 2 , 4 8 4 \cdot 1 5 , 5} = 6, 5

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 11, 522 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 8, 874 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 6, 538

Vypočítať ďaľší trojuholník