Trojuholník 7 11 15

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 7 b = 11 c = 15

Obsah trojuholníka: S = 35,96109162842
Obvod trojuholníka: o = 33
Semiperimeter (poloobvod): s = 16,5

Uhol ∠ A = α = 25,84219327632° = 25°50'31″ = 0,45110268118 rad
Uhol ∠ B = β = 43,23332348092° = 43°14' = 0,75545622937 rad
Uhol ∠ C = γ = 110,92548324276° = 110°55'29″ = 1,93660035481 rad

Výška trojuholníka: v_a = 10,27545475098
Výška trojuholníka: v_b = 6,53883484153
Výška trojuholníka: v_c = 4,79547888379

Ťažnica: t_a = 12,67987223331
Ťažnica: t_b = 10,33219891599
Ťažnica: t_c = 5,36219026474

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,17994494718
Polomer opísanej kružnice: R = 8,03295506855

Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[5,1; 4,79547888379]
Ťažisko: T[6,7; 1,5988262946]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; -2,86876966734]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 2,17994494718]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 154,15880672368° = 154°9'29″ = 0,45110268118 rad
∠ B' = β' = 136,76767651908° = 136°46' = 0,75545622937 rad
∠ C' = γ' = 69,07551675724° = 69°4'31″ = 1,93660035481 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 7 b = 11 c = 15

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 7 + 11 + 15 = 33

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 3}{2} = 16, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 16, 5 (16, 5 - 7) (16, 5 - 11) (16, 5 - 15) S = 1293, 19 = 35, 96

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 5 , 9 6}{7} = 10, 27 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 5 , 9 6}{1 1} = 6, 54 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 5 , 9 6}{1 5} = 4, 79

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 1 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 1 5}) = 25 ° 5 0^{'} 31 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 5}) = 43 ° 1 4^{'} γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 25 ° 5 0^{'} 31 " - 43 ° 1 4^{'} = 110 ° 5 5^{'} 29 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 5 , 9 6}{1 6 , 5} = 2, 18

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 1 1 \cdot 1 5}{4 \cdot 2 , 1 7 9 \cdot 1 6 , 5} = 8, 03

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 12, 679 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 10, 332 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 5, 362

Vypočítať ďaľší trojuholník