Trojuholník 7 12 13
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 7 b = 12 c = 13Obsah trojuholníka: S = 41,56992193817
Obvod trojuholníka: o = 32
Semiperimeter (poloobvod): s = 16
Uhol ∠ A = α = 32,2044227504° = 32°12'15″ = 0,5622069803 rad
Uhol ∠ B = β = 66,00989831978° = 66°32″ = 1,15220740927 rad
Uhol ∠ C = γ = 81,78767892983° = 81°47'12″ = 1,42774487579 rad
Výška trojuholníka: va = 11,87769198233
Výška trojuholníka: vb = 6,92882032303
Výška trojuholníka: vc = 6,39552645203
Ťažnica: ta = 12,01104121495
Ťažnica: tb = 8,54440037453
Ťažnica: tc = 7,36554599313
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,59880762114
Polomer opísanej kružnice: R = 6,5677359312
Súradnice vrcholov: A[13; 0] B[0; 0] C[2,84661538462; 6,39552645203]
Ťažisko: T[5,28220512821; 2,13217548401]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,5; 0,93881941874]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 2,59880762114]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 147,7965772496° = 147°47'45″ = 0,5622069803 rad
∠ B' = β' = 113,99110168022° = 113°59'28″ = 1,15220740927 rad
∠ C' = γ' = 98,21332107017° = 98°12'48″ = 1,42774487579 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=12 c=13
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7+12+13=32
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=232=16
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=16(16−7)(16−12)(16−13) S=1728=41,57
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 41,57=11,88 vb=b2 S=122⋅ 41,57=6,93 vc=c2 S=132⋅ 41,57=6,4
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 13122+132−72)=32°12′15" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1372+132−122)=66°32" γ=180°−α−β=180°−32°12′15"−66°32"=81°47′12"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1641,57=2,6
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,598⋅ 167⋅ 12⋅ 13=6,57
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 132−72=12,01 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 132+2⋅ 72−122=8,544 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 122−132=7,365
Vypočítať ďaľší trojuholník