Trojuholník 7 12 15

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 7 b = 12 c = 15

Obsah trojuholníka: S = 41,23110562562
Obvod trojuholníka: o = 34
Semiperimeter (poloobvod): s = 17

Uhol ∠ A = α = 27,26660444507° = 27°15'58″ = 0,47658822497 rad
Uhol ∠ B = β = 51,75333801217° = 51°45'12″ = 0,90332668822 rad
Uhol ∠ C = γ = 100,98105754276° = 100°58'50″ = 1,76224435218 rad

Výška trojuholníka: v_a = 11,78803017875
Výška trojuholníka: v_b = 6,87218427094
Výška trojuholníka: v_c = 5,49774741675

Ťažnica: t_a = 13,12444047484
Ťažnica: t_b = 10,05498756211
Ťažnica: t_c = 6,34442887702

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,42553562504
Polomer opísanej kružnice: R = 7,64398721886

Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[4,33333333333; 5,49774741675]
Ťažisko: T[6,44444444444; 1,83224913892]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; -1,45552137502]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5; 2,42553562504]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 152,73439555493° = 152°44'2″ = 0,47658822497 rad
∠ B' = β' = 128,24766198784° = 128°14'48″ = 0,90332668822 rad
∠ C' = γ' = 79,01994245724° = 79°1'10″ = 1,76224435218 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 7 b = 12 c = 15

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 7 + 12 + 15 = 34

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 4}{2} = 17

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 17 (17 - 7) (17 - 12) (17 - 15) S = 1700 = 41, 23

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 1 , 2 3}{7} = 11, 78 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 1 , 2 3}{1 2} = 6, 87 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 1 , 2 3}{1 5} = 5, 5

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 5}) = 27 ° 1 5^{'} 58 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 5}) = 51 ° 4 5^{'} 12 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 27 ° 1 5^{'} 58 " - 51 ° 4 5^{'} 12 " = 100 ° 5 8^{'} 50 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 1 , 2 3}{1 7} = 2, 43

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 1 2 \cdot 1 5}{4 \cdot 2 , 4 2 5 \cdot 1 7} = 7, 64

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 13, 124 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 10, 05 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 6, 344

Vypočítať ďaľší trojuholník