Trojuholník 7 12 18




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 7   b = 12   c = 18

Obsah trojuholníka: S = 26,29551991816
Obvod trojuholníka: o = 37
Semiperimeter (poloobvod): s = 18,5

Uhol ∠ A = α = 14,09216737232° = 14°5'30″ = 0,24659461036 rad
Uhol ∠ B = β = 24,67695454829° = 24°40'10″ = 0,43105647936 rad
Uhol ∠ C = γ = 141,23987807939° = 141°14'20″ = 2,46550817564 rad

Výška trojuholníka: va = 7,51329140519
Výška trojuholníka: vb = 4,38325331969
Výška trojuholníka: vc = 2,9221688798

Ťažnica: ta = 14,89112726118
Ťažnica: tb = 12,26878441464
Ťažnica: tc = 3,9377003937

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,42113621179
Polomer opísanej kružnice: R = 14,37552476408

Súradnice vrcholov: A[18; 0] B[0; 0] C[6,36111111111; 2,9221688798]
Ťažisko: T[8,12203703704; 0,9743896266]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9; -11,20992704818]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 1,42113621179]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 165,90883262768° = 165°54'30″ = 0,24659461036 rad
∠ B' = β' = 155,33304545171° = 155°19'50″ = 0,43105647936 rad
∠ C' = γ' = 38,76112192061° = 38°45'40″ = 2,46550817564 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=12 c=18

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=7+12+18=37

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=237=18,5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=18,5(18,57)(18,512)(18,518) S=691,44=26,3

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=72 26,3=7,51 vb=b2 S=122 26,3=4,38 vc=c2 S=182 26,3=2,92

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 12 18122+18272)=14°530"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 7 1872+182122)=24°4010" γ=180°αβ=180°14°530"24°4010"=141°1420"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=18,526,3=1,42

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 1,421 18,57 12 18=14,38

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 122+2 18272=14,891 tb=22c2+2a2b2=22 182+2 72122=12,268 tc=22a2+2b2c2=22 72+2 122182=3,937

Vypočítať ďaľší trojuholník