Trojuholník 7 12 18
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 7 b = 12 c = 18Obsah trojuholníka: S = 26,29551991816
Obvod trojuholníka: o = 37
Semiperimeter (poloobvod): s = 18,5
Uhol ∠ A = α = 14,09216737232° = 14°5'30″ = 0,24659461036 rad
Uhol ∠ B = β = 24,67695454829° = 24°40'10″ = 0,43105647936 rad
Uhol ∠ C = γ = 141,23987807939° = 141°14'20″ = 2,46550817564 rad
Výška trojuholníka: va = 7,51329140519
Výška trojuholníka: vb = 4,38325331969
Výška trojuholníka: vc = 2,9221688798
Ťažnica: ta = 14,89112726118
Ťažnica: tb = 12,26878441464
Ťažnica: tc = 3,9377003937
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,42113621179
Polomer opísanej kružnice: R = 14,37552476408
Súradnice vrcholov: A[18; 0] B[0; 0] C[6,36111111111; 2,9221688798]
Ťažisko: T[8,12203703704; 0,9743896266]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9; -11,20992704818]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 1,42113621179]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 165,90883262768° = 165°54'30″ = 0,24659461036 rad
∠ B' = β' = 155,33304545171° = 155°19'50″ = 0,43105647936 rad
∠ C' = γ' = 38,76112192061° = 38°45'40″ = 2,46550817564 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=12 c=18
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7+12+18=37
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=237=18,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=18,5(18,5−7)(18,5−12)(18,5−18) S=691,44=26,3
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 26,3=7,51 vb=b2 S=122⋅ 26,3=4,38 vc=c2 S=182⋅ 26,3=2,92
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 18122+182−72)=14°5′30" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1872+182−122)=24°40′10" γ=180°−α−β=180°−14°5′30"−24°40′10"=141°14′20"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=18,526,3=1,42
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,421⋅ 18,57⋅ 12⋅ 18=14,38
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 182−72=14,891 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 182+2⋅ 72−122=12,268 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 122−182=3,937
Vypočítať ďaľší trojuholník