Trojuholník 7 14 16




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 7   b = 14   c = 16

Obsah trojuholníka: S = 48,92327707719
Obvod trojuholníka: o = 37
Semiperimeter (poloobvod): s = 18,5

Uhol ∠ A = α = 25,90105519005° = 25°54'2″ = 0,45220499087 rad
Uhol ∠ B = β = 60,88221782058° = 60°52'56″ = 1,06325944655 rad
Uhol ∠ C = γ = 93,21772698937° = 93°13'2″ = 1,62769482794 rad

Výška trojuholníka: va = 13,97879345063
Výška trojuholníka: vb = 6,98989672531
Výška trojuholníka: vc = 6,11553463465

Ťažnica: ta = 14,62201915172
Ťažnica: tb = 10,17334949747
Ťažnica: tc = 7,64985292704

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,64444740958
Polomer opísanej kružnice: R = 8,01326287578

Súradnice vrcholov: A[16; 0] B[0; 0] C[3,406625; 6,11553463465]
Ťažisko: T[6,469875; 2,03884487822]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8; -0,45496883487]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,5; 2,64444740958]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 154,09994480995° = 154°5'58″ = 0,45220499087 rad
∠ B' = β' = 119,11878217942° = 119°7'4″ = 1,06325944655 rad
∠ C' = γ' = 86,78327301063° = 86°46'58″ = 1,62769482794 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=14 c=16

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=7+14+16=37

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=237=18,5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=18,5(18,57)(18,514)(18,516) S=2393,44=48,92

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=72 48,92=13,98 vb=b2 S=142 48,92=6,99 vc=c2 S=162 48,92=6,12

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 14 16142+16272)=25°542"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 7 1672+162142)=60°5256" γ=180°αβ=180°25°542"60°5256"=93°132"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=18,548,92=2,64

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 2,644 18,57 14 16=8,01

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 142+2 16272=14,62 tb=22c2+2a2b2=22 162+2 72142=10,173 tc=22a2+2b2c2=22 72+2 142162=7,649

Vypočítať ďaľší trojuholník