Trojuholník 7 14 16
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 7 b = 14 c = 16Obsah trojuholníka: S = 48,92327707719
Obvod trojuholníka: o = 37
Semiperimeter (poloobvod): s = 18,5
Uhol ∠ A = α = 25,90105519005° = 25°54'2″ = 0,45220499087 rad
Uhol ∠ B = β = 60,88221782058° = 60°52'56″ = 1,06325944655 rad
Uhol ∠ C = γ = 93,21772698937° = 93°13'2″ = 1,62769482794 rad
Výška trojuholníka: va = 13,97879345063
Výška trojuholníka: vb = 6,98989672531
Výška trojuholníka: vc = 6,11553463465
Ťažnica: ta = 14,62201915172
Ťažnica: tb = 10,17334949747
Ťažnica: tc = 7,64985292704
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,64444740958
Polomer opísanej kružnice: R = 8,01326287578
Súradnice vrcholov: A[16; 0] B[0; 0] C[3,406625; 6,11553463465]
Ťažisko: T[6,469875; 2,03884487822]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8; -0,45496883487]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,5; 2,64444740958]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 154,09994480995° = 154°5'58″ = 0,45220499087 rad
∠ B' = β' = 119,11878217942° = 119°7'4″ = 1,06325944655 rad
∠ C' = γ' = 86,78327301063° = 86°46'58″ = 1,62769482794 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=14 c=16
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7+14+16=37
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=237=18,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=18,5(18,5−7)(18,5−14)(18,5−16) S=2393,44=48,92
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 48,92=13,98 vb=b2 S=142⋅ 48,92=6,99 vc=c2 S=162⋅ 48,92=6,12
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 16142+162−72)=25°54′2" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1672+162−142)=60°52′56" γ=180°−α−β=180°−25°54′2"−60°52′56"=93°13′2"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=18,548,92=2,64
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,644⋅ 18,57⋅ 14⋅ 16=8,01
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 162−72=14,62 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 162+2⋅ 72−142=10,173 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 142−162=7,649
Vypočítať ďaľší trojuholník